P4. Numero primo vs cubo perfecto

Enviado por Samuel Elias el 12 de Junio de 2025 - 23:20.

Sea $p$ un número primo (positivo). El número $16p + 1$ es un cubo perfecto. ¿Cuáles son los posibles valores para $p$?

Sugerencia

Sugerencia:

Factoriza la diferencia de cubos. ¿Qué sucede con el factor 16? Recuerda que un número primo sólo tiene 2 divisores.

Solución

Solución:

Sea $16p+1 = n^3 \iff 16p = n^3 - 1 \iff 16 p = (n-1)(n^2+n+1)$. Como $n^2 + n + 1$ es siempre impar, entonces $16 | n-1$. Sea $n-1 = 16x$, entonces $p = x(n^2+n+1)$. Como $p$ es primo tenemos 2 casos:

Si $x = 1 \Rightarrow n = 16 + 1 = 17$. Entonces: $$p = 17^2+17+1 = 307$$.
Si $x = p \Rightarrow n^2+n+1=1 \iff n^2+n = 0 \iff n(n+1) = 0 \iff n=-1, 0$, pero esto haría que $p = \frac{-1}{16}, \frac{-2}{16}$.

Por lo tanto, el único valor para $p$ es $p=307$.

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