Problema 2(N)

Bueno, primero que nada te aclaro que comestiste un error en tu redacción, seguramente quisiste escrbir $n -S(n) = 3^2$ en lugar de $n-S(n) = 3$.

Sobre tu duda, sugiero que busques acotar por abajo el valor de $n - S(n)$ observa que si $n$ es muy grande $n-S(n)$ será muy grande. 

Observa que si $n -S(n) = 9$ debe ocurrir que $n$ tiene a lo más dos dígitos, o de lo contrario $n - S(n) \geq 99$.

Saludos,

La desigualdad $s(n) \leq 27$ únicamente se vale cuando $n$ tiene a lo más 3 dígitos. Por lo que todo tu argumento para eliminar el caso en que $n$ tiene 3 o más dígito, sólo vale cuando $n$ tiene exactamente 3 dígitos. Pero no te debe tomar mucho corregir los argumentos para salvar esta demostración.

Por otro lado, para resolver el caso de dos dígitos tu argumento final es perfectamente aceptable. Sin embargo, yo preferiría usar la descomposición $n = 10a + b$ donde $a$ y $b$ son dígitos. Con esto, la identidad  $n - S(n) = U(n)^2$ se transforma en $9a = b^ 2$. Esto nos permite encontrar $a$ dado el valor de $b$, así que para los valores $b=0,3,6$ le corresponden los valores $a=0, 1, 4$; es decir las soluciones son 13 y 46 ( $a=0$ y $b=0$ se descarta por obvias razones).

En general, tu manejo de las desigualdades y organización del problema me parece correcto. Está todo bien escrito y salvo el detalle que mencioné al principio, la demostración es correcta.

Saludos

Con ese argumento queda completa la prueba.

La verdad sí tengo otra prueba pero es muy similar en complejidad y en el tipo de argumentos, una diferencia sustancial es que no uso inducción.

• Si $n$ tiene $k$ dígitos se puede escribir como $$n = a_{k-1}10^{k-1} + a_{k-2}10^{k-2} + \dots a_2 10^ 2 + a_110^1 + a_0$$
• Entonces, sustituyendo y luego aplicando la desigualdad ($a_i10^i - a_i \geq 0$ para todo $i$) se obtiene que  $$n -S(n) = \sum_{i=0}^{k-1} a_i10^i - a_i \geq a_{k-1}10^{k-1} -a_{k-1}$$
• Pero si $k \geq 3$ tendremos que $k-1 \geq 2$, entonces tendremos que$$a_{k-1}10^{k-1} -a_{k-1} \geq a_{k-1}10^2 -  a_{k-1} = 99a_{k-1}  \geq 99$$ En La última desigualdad usa que $ a_{k-1} \geq 1 $ (ya que el dígito de más a la izquierda de $n$)
• Entonces habremos demostrado que $n -S(n) \geq 99$ para todo $n$ de 3 o más dígitos.

Yo pondría este problema entre nivel avanzado o intermedio, no lo sabría. Pues bien cabría como un problema 1 o 4 de nacional. Este problema apareció en el selectivo del año pasado.

Saludos y gracias por compartirnos tu solución.

Qué cosas, ¿cómo se nos pasó la solución n=99?

En mi argumento dije, pues $b=0,3,6$ pero me faltó incluir a 9.

Es bueno saber que argumentos informáles son válidos en el estatal.

Saludos

Jesús