Enviado por Roberto Alain R... el 29 de Agosto de 2015 - 20:25.
Para un entero positivo n denotamos con S(n) la suma de los dígitos y con U(n) el dígito de las unidades. Determinar todos los enteros positivos n con la propiedad de que n=S(n)+U(n)2 (Nota: Para n=324, S(n)=9 y U(n)=4.)
Enviado por Weldersay el 25 de Abril de 2016 - 21:58.
Si $n$ tuviera mas de tres digitos y el digito de las unidades fuera 9 entonces se tendria $n\geq109$ y $s(n)\leq27$ entonces $n-s(n)\geq82$ lo cual no es posible ya que $n-s(n)\leq81$ entonces nos queda $n-s(n)=U(n)^2\leq36$ en este caso similar al caso anterior si $n$ tuviera mas de tres digitos entonces $n\geq100$ y $s(n)\leq27$ por tanto $n-s(n)\leq73$ tampoco es posible, en definitiva $n$ tiene como máximo dos cifras y su digito de las unidades es 0, 3 ó 6
el caso $n-s(n)=0$ es fácil de descartar
Si $n-s(n)=9$ ó $n-s(n)=36$ viendo los números $\{ 13,16,23,26,33,36,43,46,53,56,63,66,73,76,83,86,93,96 \}$ se puede ver que solo $13$ y $46$ son solución.
PD. El error del post anterior fue un mal tecleo.... jejeje.
La desigualdad $s(n) \leq 27$ únicamente se vale cuando $n$ tiene a lo más 3 dígitos. Por lo que todo tu argumento para eliminar el caso en que $n$ tiene 3 o más dígito, sólo vale cuando $n$ tiene exactamente 3 dígitos. Pero no te debe tomar mucho corregir los argumentos para salvar esta demostración.
Por otro lado, para resolver el caso de dos dígitos tu argumento final es perfectamente aceptable. Sin embargo, yo preferiría usar la descomposición $n = 10a + b$ donde $a$ y $b$ son dígitos. Con esto, la identidad $n - S(n) = U(n)^2$ se transforma en $9a = b^ 2$. Esto nos permite encontrar $a$ dado el valor de $b$, así que para los valores $b=0,3,6$ le corresponden los valores $a=0, 1, 4$; es decir las soluciones son 13 y 46 ( $a=0$ y $b=0$ se descarta por obvias razones).
En general, tu manejo de las desigualdades y organización del problema me parece correcto. Está todo bien escrito y salvo el detalle que mencioné al principio, la demostración es correcta.
La verdad sí tengo otra prueba pero es muy similar en complejidad y en el tipo de argumentos, una diferencia sustancial es que no uso inducción.
Si $n$ tiene $k$ dígitos se puede escribir como $$n = a_{k-1}10^{k-1} + a_{k-2}10^{k-2} + \dots a_2 10^ 2 + a_110^1 + a_0$$
Entonces, sustituyendo y luego aplicando la desigualdad ($a_i10^i - a_i \geq 0$ para todo $i$) se obtiene que $$n -S(n) = \sum_{i=0}^{k-1} a_i10^i - a_i \geq a_{k-1}10^{k-1} -a_{k-1}$$
Pero si $k \geq 3$ tendremos que $k-1 \geq 2$, entonces tendremos que$$a_{k-1}10^{k-1} -a_{k-1} \geq a_{k-1}10^2 - a_{k-1} = 99a_{k-1} \geq 99$$ En La última desigualdad usa que $ a_{k-1} \geq 1 $ (ya que el dígito de más a la izquierda de $n$)
Entonces habremos demostrado que $n -S(n) \geq 99$ para todo $n$ de 3 o más dígitos.
Yo pondría este problema entre nivel avanzado o intermedio, no lo sabría. Pues bien cabría como un problema 1 o 4 de nacional. Este problema apareció en el selectivo del año pasado.
Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 23:13.
Hola, agregué la solución ''oficial'' al problema problema. Estoy de acuerdo contigo Jesús, este problema tiene nivel medio o avanzado creo que es fácil de ver que n no puede tener más de dos digitos, pero como siempre ¿como se prueba algo tan sencillo? y bueno, las desigualdades vienen a hacer el truco.
Creo que en el estatal el demostrar que $k \leq 3$ se podia hacer de manera informal, por que precisamente esas desigualdes hacen el problema avanzado.
Enviado por Weldersay el 28 de Abril de 2016 - 21:50.
Hola,
Creo que yo induje a cometer el error que yo habia cometido a Jesus,
En el post 5 al hacer el análisis de n para tres dígitos y que el digito de las unidades fuera 9.Pues, cometí el error tambien de excluirlo para cuando n tuviera dos digitos, cosa que no podia ser, entonces al conjunto de números que se evaluarón también tenia que incluirse los que terminaban en dígito 9 o sea faltarón los números $\{19,29,39,49,59,69,79,89,99\}$
Las disculpas a Jesús, y las gracias a Germán por hacerlo notar y compartir la solución.
Gracias por la colaboración
Gracias por la colaboración Alain y felicidades por tu examen perfecto.
Te saluda
De nada y gracias, tan pronto
De nada y gracias, tan pronto tenga oportunidad subiré mis respuestas de cada problema. Saludos
Alguna sugerencia para este
Alguna sugerencia para este problema por favor.
Por ahora tengo esto, $0\leq n-S(n)= U(n)^2\leq 81$ Ahora como
$n$ y $S(n)$ dan el mismo resto $(mod9)$ entonces $n-S(n)= U(n)^2 \equiv 0(mod9)$
por lo tanto $U(n)$ es igual a uno de los valores $0,3,6$ ó $9$ luego trato de ver cada caso pero me queda por ejemplo.
$n-S(n)=3$ pero me queda dos incognitas... Debe de haber algo que no estoy viendo, hummm....
Bueno, primero que nada te
Bueno, primero que nada te aclaro que comestiste un error en tu redacción, seguramente quisiste escrbir $n -S(n) = 3^2$ en lugar de $n-S(n) = 3$.
Sobre tu duda, sugiero que busques acotar por abajo el valor de $n - S(n)$ observa que si $n$ es muy grande $n-S(n)$ será muy grande.
Observa que si $n -S(n) = 9$ debe ocurrir que $n$ tiene a lo más dos dígitos, o de lo contrario $n - S(n) \geq 99$.
Saludos,
Si $n$ tuviera mas de tres
Si $n$ tuviera mas de tres digitos y el digito de las unidades fuera 9 entonces se tendria $n\geq109$ y $s(n)\leq27$ entonces $n-s(n)\geq82$ lo cual no es posible ya que $n-s(n)\leq81$ entonces nos queda $n-s(n)=U(n)^2\leq36$ en este caso similar al caso anterior si $n$ tuviera mas de tres digitos entonces $n\geq100$ y $s(n)\leq27$ por tanto $n-s(n)\leq73$ tampoco es posible, en definitiva $n$ tiene como máximo dos cifras y su digito de las unidades es 0, 3 ó 6
el caso $n-s(n)=0$ es fácil de descartar
Si $n-s(n)=9$ ó $n-s(n)=36$ viendo los números $\{ 13,16,23,26,33,36,43,46,53,56,63,66,73,76,83,86,93,96 \}$ se puede ver que solo $13$ y $46$ son solución.
PD. El error del post anterior fue un mal tecleo.... jejeje.
Saludos.
La desigualdad $s(n) \leq 27$
La desigualdad $s(n) \leq 27$ únicamente se vale cuando $n$ tiene a lo más 3 dígitos. Por lo que todo tu argumento para eliminar el caso en que $n$ tiene 3 o más dígito, sólo vale cuando $n$ tiene exactamente 3 dígitos. Pero no te debe tomar mucho corregir los argumentos para salvar esta demostración.
Por otro lado, para resolver el caso de dos dígitos tu argumento final es perfectamente aceptable. Sin embargo, yo preferiría usar la descomposición $n = 10a + b$ donde $a$ y $b$ son dígitos. Con esto, la identidad $n - S(n) = U(n)^2$ se transforma en $9a = b^ 2$. Esto nos permite encontrar $a$ dado el valor de $b$, así que para los valores $b=0,3,6$ le corresponden los valores $a=0, 1, 4$; es decir las soluciones son 13 y 46 ( $a=0$ y $b=0$ se descarta por obvias razones).
En general, tu manejo de las desigualdades y organización del problema me parece correcto. Está todo bien escrito y salvo el detalle que mencioné al principio, la demostración es correcta.
Saludos
Te faltó 99 siendo
Ya que la prueba esta hecha
Con ese argumento queda
Con ese argumento queda completa la prueba.
La verdad sí tengo otra prueba pero es muy similar en complejidad y en el tipo de argumentos, una diferencia sustancial es que no uso inducción.
Yo pondría este problema entre nivel avanzado o intermedio, no lo sabría. Pues bien cabría como un problema 1 o 4 de nacional. Este problema apareció en el selectivo del año pasado.
Saludos y gracias por compartirnos tu solución.
Hola, agregué la solución
Hola, agregué la solución ''oficial'' al problema problema. Estoy de acuerdo contigo Jesús, este problema tiene nivel medio o avanzado creo que es fácil de ver que n no puede tener más de dos digitos, pero como siempre ¿como se prueba algo tan sencillo? y bueno, las desigualdades vienen a hacer el truco.
Creo que en el estatal el demostrar que $k \leq 3$ se podia hacer de manera informal, por que precisamente esas desigualdes hacen el problema avanzado.
Saludos
germán
Qué cosas, ¿cómo se nos pasó
Qué cosas, ¿cómo se nos pasó la solución n=99?
En mi argumento dije, pues $b=0,3,6$ pero me faltó incluir a 9.
Es bueno saber que argumentos informáles son válidos en el estatal.
Saludos
Jesús
Hola, Creo que yo induje a
Hola,
Creo que yo induje a cometer el error que yo habia cometido a Jesus,
En el post 5 al hacer el análisis de n para tres dígitos y que el digito de las unidades fuera 9.Pues, cometí el error tambien de excluirlo para cuando n tuviera dos digitos, cosa que no podia ser, entonces al conjunto de números que se evaluarón también tenia que incluirse los que terminaban en dígito 9 o sea faltarón los números $\{19,29,39,49,59,69,79,89,99\}$
Las disculpas a Jesús, y las gracias a Germán por hacerlo notar y compartir la solución.
Saludos.