Problema 5, ONMAS 2007

Enviado por jmd el 4 de Febrero de 2009 - 21:49.

Sean $a, b$ dos enteros tales que $2007 a = 7002b$. Demostrar que $a+b$ no es primo.

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Aplicar el lema de Gauss: si $a$ divide a $bc$ y $a$ es primo con $b$, entonces $a$ divide a $c$.

Solución

Solución:

Claramente $2007$ y $7002$ son múltiplos de $9$. Simplificando el $9$, la igualdad se transforma a $223a=778b$. Transformando ahora la igualdad a un modo conveniente para responder la pregunta, se obtiene $223(a+b)=555b$. Y ya está, pues el lado derecho es múltiplo de $5$ y, en consecuencia, lo mismo es cierto del lado izquierdo.Pero $223$ no es múltiplo de $5$. Por tanto, $a+b$ tiene que ser múltiplo de 5. Es decir, no es primo. Como se quería.

Este problema pareciera

Enviado por jmd el 4 de Febrero de 2009 - 21:54.

Este problema pareciera avanzado, y de cierta forma lo es pues se planteó para el nivel 2 de la ONMAS 2007, pero es elemental si el concursante conoce el criterio de divisibilidad dado por el lema de Gauss: si $a$ divide a $bc$ y $a$ es primo con $b$, entonces $a$ divide a $c$. El adolescente interesado en concursos debería tomar este lema como axioma (como dado o teorema conocido) y aplicarlo sin remordimiento (de que no sabe demostrarlo).

Transformando ahora la

Enviado por Fernando Mtz. G. el 4 de Febrero de 2009 - 22:55.

Transformando ahora la igualdad se obtiene. 223(a+b)=1001b=(11)(91) y 223 no es multiplo de 11 asi que a+b es multiplo de 11, y es facil ver que a+b no puede ser 11, por tanto a+b no es primo

Vemos que: $2007=223*9$ y [1]

Enviado por Paola Ramírez el 5 de Abril de 2013 - 01:16.

Vemos que:
$2007=223*9$ y que $7002=778*9$, la igualdad se simplifica a $223*a=778*b$

Tenemos que igualar factores de ambos lados de la igualdad
$223(778*k)=778(223*k)$, donde $a=778*k,b=223*k$ entonces
$a+b=(778*k)+(223*k)=k(778+223)=k(1001)$ pero $1001=7*11*13 \therefore a+b$ no es primo