Parejas especiales

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Una pareja de enteros es especial si es de la forma $(n,n-1)$ o de la forma $(n-1,n)$ con $n$ un entero positivo. Muestra que una pareja $(n.m)$ de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros $n$ y $m$ satisfacen la desigualdad $n+m\geq(n-m)^2$.

Nota: la suma de dos parejas se define como $(a.b)+(c,d)=(a+c,b+d)$




Imagen de German Puga

Supongamos que $m\geq n$ y

Supongamos que $m\geq n$ y que $m - n = k$ por lo que si los numeros $(m,n)$ satisfacenn la desigualdad se tendra que:

1) haciendo $m= n + k$

$2n + k \geq k^2$ por lo que $n \geq \frac{k(k-1)}{2}$ es decir la suma de los primeros $k-1$ enteros positivos,

2) haciendo $n = m - k$

$2m - k \geq k^2$ de donde $m \geq \frac{k(k+1)}{2}$ la suma desde uno hasta $k$

Denotemos por $S_k =1 + 2 + 3 + \cdots + k $ la suma desde uno hasta k. En particular si $S_k -  S_{k-1}$ = $ m - n $= $k$ entonces $m - S_k$= $n - S_{k-1}$ supongamos que esto es igual a $i$ para tener que:

$m = S_k + i$ luego $m= S_{k-1} + (k +i)$ de manera similar:                              $n = S_{k-1} + i$ luego $n = S_{k-2} + (k-1+i)$ por lo que acomodemos las parejas de la sig manera:

$(0,1) + (1,2) + (2,3) + \cdots + (k-2 , k-1) + ({k+i-1},{k+i}) = (n,m)$

si $n=m$ hacemos $(0,1) + (n,n-1)= (n,n) = (m,m) = (m,n)$

Saludos

Germàn.