Los ángulos en la base $BC$ del isósceles $ABC$ miden 40 grados. El lado $AB$ se prolonga hasta el punto $D$ de manera que $B$ quede entre $A$ y $D$ y $AD=BC$. ¿Cuánto mide el ángulo $BCD$?
Enviado por jesus el 3 de Octubre de 2010 - 17:37.
Ahí va mi solución, hace rato lo hice pero no había tenido tiempo.
Construimos un punto I sobre $BC$ tal que $CI = CA$.
De esto se concluye rápidamente que:
BD = BI (Por mera construcción, ambos segmentos miden la resta del lado mayor menos el menor del triángulo ABC)
De aquí que $\angle ADC = \angle BDI = 20°$ (Pues el triángylos BDI es isósceles)
Usando que el triángulo ACI es isósceles y que el ángulo en A es de 100°, se concluye $\anlge IAD = 30°$
Ahora construimos un triángulo equilátero sobre el lado BC y observamos los ángulos obtenidos.
Claramente los triángulos AGB y IAD tienen los mísmos ángulos, por lo que son semejantes, pero como además AD = BG ( ambos son iguales a BC), se sigue que son congruentes.
De la congruencias se sigue que AB = DI, es decir, DI es igual al lado menor del triángulos isóceles ABC. Pero como CI también es igual al lado menor del triángulo ABC, entonces DIC es isósceles.
Ya demostrado que IDC es isósceles con ID=IC, se concluye que $\angle BCD = 10°$.
Plan tentativo: Reflejando $A$ en $DE$ se obtiene $E$; entonces se forman los isósceles $CAE$ y $DEA$. Si probara que $DEA$ es equilátero, se llega fácil a la solución... pero... ¿cómo pruebo que $DEA$ es equilátero? Y, bueno... este es un problema que acabo de inventar... es decir, bajo las condiciones del problema, demostrar que el reflejo de $A$ en el eje $CD$ forma equilátero con $D$ y $A$... ¿alguien lo quiere resolver?
Plan mejorado (y alternativo): Trazando el equilátero de base $AD$ se obtiene el punto $E$. Entonces el ángulo $EAC$ es de 40. Llamando $T$ a la intersección de $AE$ con $BC$, se tiene que el triángulo $CAT$ es isósceles (con ángulos en la base $CA$ de 40). De aquí que $TE=TB$ y se ve que los triángulos $ATB$ y $CTE$ son congruentes (por LAL). Se sigue que $AC=AB=CE$. Es decir, los ángulos en la base $AE$ del triángulo $CAE$ son congruentes e iguales a 40 grados (por teorema del triángulo isósceles). Por tanto, $\angle{ACE}=100$. En suma, el ángulo buscado mide 10 grados. (Bueno, faltan de llenar algunas justificaciones... se dejan al cibernauta interesado en las matemáticas de concurso.)
Los saluda
jmd
PD: Nótese que con una figura bien trazada, es casi obvio que el simétrico E de A respecto al eje CD forma equilátero con A y D. Y uno sospecha que con esta idea o plan tentativo o trazo auxiliar la solución debe surgir. Pero la demostración de equilátero no es directa. En cambio, si trazo el equilátero la solución fluye como el agua... ¿alguien quisiera elaborar sobre este misterio?
Ahí va mi solución, hace rato
Ahí va mi solución, hace rato lo hice pero no había tenido tiempo.
Construimos un punto I sobre $BC$ tal que $CI = CA$.
De esto se concluye rápidamente que:
Ahora construimos un triángulo equilátero sobre el lado BC y observamos los ángulos obtenidos.
Claramente los triángulos AGB y IAD tienen los mísmos ángulos, por lo que son semejantes, pero como además AD = BG ( ambos son iguales a BC), se sigue que son congruentes.
De la congruencias se sigue que AB = DI, es decir, DI es igual al lado menor del triángulos isóceles ABC. Pero como CI también es igual al lado menor del triángulo ABC, entonces DIC es isósceles.
Ya demostrado que IDC es isósceles con ID=IC, se concluye que $\angle BCD = 10°$.
Espero que les haya gustado mi solución.
Un problema asociado y una
Un problema asociado y una solución.
Plan tentativo: Reflejando $A$ en $DE$ se obtiene $E$; entonces se forman los isósceles $CAE$ y $DEA$. Si probara que $DEA$ es equilátero, se llega fácil a la solución... pero... ¿cómo pruebo que $DEA$ es equilátero? Y, bueno... este es un problema que acabo de inventar... es decir, bajo las condiciones del problema, demostrar que el reflejo de $A$ en el eje $CD$ forma equilátero con $D$ y $A$... ¿alguien lo quiere resolver?
Plan mejorado (y alternativo): Trazando el equilátero de base $AD$ se obtiene el punto $E$. Entonces el ángulo $EAC$ es de 40. Llamando $T$ a la intersección de $AE$ con $BC$, se tiene que el triángulo $CAT$ es isósceles (con ángulos en la base $CA$ de 40). De aquí que $TE=TB$ y se ve que los triángulos $ATB$ y $CTE$ son congruentes (por LAL). Se sigue que $AC=AB=CE$. Es decir, los ángulos en la base $AE$ del triángulo $CAE$ son congruentes e iguales a 40 grados (por teorema del triángulo isósceles). Por tanto, $\angle{ACE}=100$. En suma, el ángulo buscado mide 10 grados. (Bueno, faltan de llenar algunas justificaciones... se dejan al cibernauta interesado en las matemáticas de concurso.)
Los saluda
jmd
PD: Nótese que con una figura bien trazada, es casi obvio que el simétrico E de A respecto al eje CD forma equilátero con A y D. Y uno sospecha que con esta idea o plan tentativo o trazo auxiliar la solución debe surgir. Pero la demostración de equilátero no es directa. En cambio, si trazo el equilátero la solución fluye como el agua... ¿alguien quisiera elaborar sobre este misterio?