P5. Dos circunferencias, una perpendicular.

Juan Castro, si lees este comentario espero puedas compartir tu solución, me gustó mucho como matas el problema con el punto diametralmente opuesto. 

Trazamos $\mathrm{EC}$, $\mathrm{ED}$ y $\mathrm{DB}$.

Sea Q el punto de intersección entre $\Gamma$ y la extensión de $\mathrm{AK}$.

Sea P la intersección entre $\mathrm{AK}$ y $\mathrm{BC}$.

Notese el cuadrilátero cíclico $\mathrm{EDBC}$.

Por moñitos $\mathrm{\angle EDK}=\mathrm{\angle EBC}$

Por ángulos entre dos rectas $\mathrm{\angle EKQ}=\mathrm{\angle BKP}$

Notese que la cuerda $\mathrm{QK}$ pasa por el centro de $\Gamma$, por tanto es un diámetro $\Rightarrow \mathrm{QK}=180°$.

Notese que los arcos $\mathrm{QE}$ + $\mathrm{EK}$ = $\mathrm{QK}$ = 180

$\mathrm{\angle EDK}=\frac{\mathrm{EK}}{2}$

$\mathrm{\angle EKQ}=\frac{\mathrm{QE}}{2}$

$\mathrm{\angle EDK}+\mathrm{\angle EKQ}=\frac{\mathrm{EK}+\mathrm{QE}}{2}=\frac{180}{2}=90$

Recordando que $\mathrm{\angle EDK}=\mathrm{\angle EBC}$ y $\mathrm{\angle EKQ}=\mathrm{\angle BKP}$

$\mathrm{\angle EBC}+\mathrm{\angle BKP}=90$

Notese que tanto $\mathrm{EBC}$ como $\mathrm{BKP}$ forman parte del triángulo $\mathrm{BKP}$. Por tanto, si su suma es 90, el ángulo restante será 90:

$\mathrm{\angle KPB}=90°$

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