Sean m1,m2,...,mn las muchachas y h1,h2,...,hn los muchachos. Las parejas posibles son(m1,h1),(m1,h2),...,(mn,h1),(mn,h2),...(mn,hn), y son n2 parejas. Queremos asegurar que una de esas parejas, digamos la (mi,hj) es tal que mi y hj se gustan mutuamente. Por otro lado, para cada mi hay a parejas y para cada hj hay b parejas, de tal manera que las preferencias de las muchachas forman an parejas y las preferencias de los muchachos forman bn parejas. Para que haya una pareja en la cual sus miembros se gusten mutuamente, debe haber por lo menos una pareja perteneciente a las preferencias de las muchachas (an en total) que también pertenezca a las parejas de las preferencias de los muchachos (bn en total) Si ninguna pareja se repitiera, ello significaría que an+bn es menor que n2 (porque se cuentan todas las parejas de preferencia femenina y todas las parejas de preferencia masculina y no se repiten). En otras palabras, si no hay una pareja cuyos miembros se gusten mutuamente entonces an+bn≤n2 Pero esta es precisamente la contrapositiva de la proposición "si an+bn > n2 entonces existe una pareja cuyos miembros se gustan mutuamente". En conclusión, para que forzosamente haya un muchacho y una muchacha que se gusten mutuamente la condición suficiente es que an+bn>n2, es decir a+b >n.
Consideremos las parejas
Consideremos las parejas (r,s) donde r es un muchacho y s una muchacha que le gusta a r. Hay al menos a parejas por cada niño, por lo que hay (a)(n) parejas.Entonces, hay una niña que esta en al menos a de esas parejas, es decir, hay una niña que le gusta a almenos a niños.Si a esa niña le gustan mas de n-a niños, tenemos la pareja requerida.Es decir, si a+b>n se cumple la condicion buscada.
Si a+b es menor o igual a n, vamos a ver que no necesariamente es cierto. Para eso numeramos a las niñas con los numeros del 1 al n y a los niños tambien. Dada una pareja (i,j) donde i es el numero de alguna niña y j de un niño, diremos que a i le gusta j si i+j es congruente modulo n a alguno de 1,2,3,...,b, y diremos diremos que a j le gusta i si i+j es alguno de n,n-1,...,n-a+1 modulo n.
Con esto se cumple la condicion del problema y no hay una pareja que se guste mutuamente