Problema 1 OMM 2003

Solución. Sea $k$ un número con $n$ cifras, sea $b$ la última cifra de $k$ y $a$ el resto del número. Sea $t$ tal que $m=kt$. Entonces $100a+b=t(10a+b)\Leftrightarrow 100a+b=10ta+tb$
$\Leftrightarrow 100a-10ta=tb\Leftrightarrow a(100-10t)=b(t-1)$ Notemos que $t$ es un número natural distinto de $0$. Por lo tanto $t-1\geq 0$. De aquí que $b(t-1)\geq 0$, es decir
$a(100-10t)\geq0\Rightarrow t\leq 9$ En resumen $0 \leq t \leq 10$ , por lo tanto $-1\leq t-1\leq 9$

Osea estamos acotando t solo a 10 valores, pero lo podemos reducir aún más: Si $t=1$ entonces $a(100-10t) = 0\Rightarrow a=0$ o $100-10t=0$ pero $100-10t \neq 0$ entonces  $a=0\Rightarrow$ $k$ tiene una cifra, por lo tanto el caso $t=1$ se descarta.

Recordemos que $10a(10-t)=b(t-1)$ osea $10\mid b(t-1)$ como $t-1$ < $10$ y $0\leq b \leq 9$ entonces $b$ tiene que ser múltiplo de $2$, de $5$ o de $10$ (pero en este caso solo $b=0$ es el múltiplo de 10) entonces $b$ debe ser múltiplo de $2$ o de $5$.

Si $t=10$ entonces $a(100-100)=b(100-1) \Rightarrow 0=b(99)\Rightarrow b=0$ osea \textit{que todos los números que terminan en 0 funcionan}

Si $t=9$ entonces: $10(a)=b(8)\Leftrightarrow 5(a)=4(b) \Rightarrow a=5, b=4$ por lo tanto $45$ es solución.

Si $t=8$ entonces: $10a(2)=b(7) \Leftrightarrow 20a=7b$ pero esto es una contradicción ya que $b$ solo puede ser múltiplo de $2$ o $5$.

Si $t=7$ entonces $10a(3)=b(6)\Leftrightarrow 5a(3)=b(3) \Leftrightarrow 5(a)=b \Leftrightarrow 5(a)=5 \Leftrightarrow a=1$ y $b=5$ por lo tanto el $15$ cumple.

Si $t=6$ tenemos $10a(4)=b(5)\Leftrightarrow 8a=b \Leftrightarrow b=2, b=4$ o $b=8$. Si $b=2$ entonces $a=\frac{1}{4}$ lo que es imposible, el caso $b=4$ se descarta por la misma razón. si $b=8$ entonces $a=1$, por lo tanto el 18 cumple.

Si $t=5$ tenemos $10a(5)=b(4)\Leftrightarrow 25(a)=2(b)$. Si $b=5$ entonces $25a=10 \Rightarrow a$ no es entero. Notemos que como $b$ es la última cifra, puede ser solamente $2,4,5,6,8$ (ya que solo puede ser múltiplo de $2$ o $5$) en ninguno de estos casos se
encuentran valores para a.

Si $t=4$ tenemos $10a(6)=b(3)\Leftrightarrow 10(a)(2)=b$ lo que es imposible ya que $b$ es un número de una sola cifra (al estar el 10 multiplicando lo hace forzozamente de 2).

Los casos $t=3,2,1$ se descartan también por razones análogas.