Para resolver este problema vamos primero a establecer tres lemas.
Lema 1: Cualesquiera dos enteros consecutivos son coprimos (su máximo común divisor es 1).
Demostración del lema 1: Sea d un divisor común de $ m $ y $m+1$. Entonces $ d $ divide a la diferencia $m+1-m=1$. Es decir, $d=1$, como se quería.
Lema 2: Cualesquiera dos impares consecutivos son coprimos.
Demostración del lema 2: Sea $ d $ un divisor común de $2m-1$ y $2m+1$. Entonces divide a la diferencia $2m+1-(2m-1)=2$. Es decir, $d=1$ o $d=2$. Pero no puede ser $ 2 $ pues es divisor de dos impares. Por lo tanto $d=1$. Como se quería.
Lema 3: El $MCD(2m, 2m+2)=2$. (Cualesquiera dos pares consecutivos tienen a $ 2 $ como su máximo común divisor.)
Demostración del lema 3: Un divisor común de $2m$ y $2m+2$ es $ 2 $. Y no hay otro mayor. Pues si $ d $ divide a $2m$ y a $2m+2$, entonces $ d $ divide a la diferencia que es $ 2 $. Es decir, todo divisor común de $2m$ y $2m+2$ divide a 2. Es decir, $MCD(2m,2m+2)=2$.
Solución del problema
El problema se modela con la ecuación $y(n-x)=n+x$. O, equivalentemente, como $n(y-1)=x(y+1).$ De aquí que $y-1$ divida a $x(y+1).$
Caso 1: $y=2k$ ($ y $ par)
En este caso se sigue que $y-1$ divide a $ x $ (lema fundamental). Es decir, $x=y-1, 2(y-1), 3(y-1),...$ Por tanto, correspondientemente, $n=y+1, 2(y+1), 3(y+1),...$
En consecuencia, si $ y $ es par las soluciones son del tipo $(x,n)=(i(y-1),i(y+1))$ con $ i $ entero positivo.
Caso 2: $y=2k+1$ ($ y $ impar)
En este caso, la ecuación se transforma a $nk=x(k+1).$ Se sigue que $ k $ divide a $ x $ (dado que es primo con $k+1$, y se aplica el lema fundamental de la teoría de números). Entonces, x$=k, 2k, 3k,...$ Y, correspondientemente, $n=k+1, 2(k+1), 3(k+1),...$
En consecuencia, si $y=2k+1$ (en el problema original $y=5$ y, por tanto, $k=2$), las soluciones son del tipo$ (x,n)=(ik, i(k+1)),$ con $ i $ entero positivo.
A manera de ilustración, tomemos $y=7$. En este caso $k=3$. Podemos elegir cualquiera de las soluciones $(x,n)=(3,4), (6,8), (9,12),...$
Y ya tenemos un generador automático de problemas razonados. Por ejemplo: abuelo, abuelo, ¡perdí 9! Y el abuelo dice: si hubieses encontrado 9, tendrías 7 veces lo que ahora tienes. ¿Cuántos tenía?
El punto de vista del abuelo
Los cálculos del abuelo son muy simples y se reducen a una regla: primero calcula (n+x)/(n-x)=y; y si esta cantidad es un entero, lo que hace es contestar en el espejo (perder x-encontrar x): si hubieses encontrado x tendrías y veces lo que ahora tienes. Las construcciones del abuelo son un anzuelo lanzado a los niños (confiando en su capacidad de asombro). Si el niño se gancha, ahí está la puerta de entrada para desarrollar el gusto por las matemáticas. Y lo mejor es que tiene la tutoría del abuelo.
