Divisores de 6n

Enviado por jmd el 23 de Mayo de 2010 - 08:21.
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Sea $ n $ un entero positivo. Si $2n$ tiene 30 divisores positivos y $3n$ tiene 32 ¿Cuántos divisores tiene $6n$?

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Divisor
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Divisibilidad
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Número de divisores
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Imagen de kamilothunder16

emm... jajaja ya tiene un

Enviado por kamilothunder16 el 28 de Mayo de 2010 - 21:09.
5

emm... jajaja ya tiene un buen rato k no posteo nada xD... bno en si el problema es dificil si saben como sacar los divisores de un numero... :P

bno pss a ver si alguien lo resuelve si no despues pongo la solucion

nos vemos y saludos profe muñoz

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Tengo una idea en este

Enviado por sadhiperez el 30 de Mayo de 2010 - 00:09.

Tengo una idea en este problema; pero no se como me ayuda.

Hay un teorema se si tenga un nombre o algo asi pero dice que:

un numero factorizado n=(A^x)(B^y)(C^z)..

 Y que N= al numero de divisores que tiene. donde N=(x+1)(y+1)(z+1)

Entonces tengo la idea que N=30=(5+1)(4+1) 

y tambien N=32=(7+1)(3+1)

Pero no se como seguir.

Espero que alguien ponga la solucion(:

 

Saludos

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Es una idea excelente. Hay

Enviado por jmd el 30 de Mayo de 2010 - 14:45.

Es una idea excelente. Hay que añadir que si un primo no es factor de n entonces de cualquier manera lo ponemos con exponente cero. De esa manera, n=2^x3^y5^z...

Te dejo los detalles...

Te saluda

jmd

PD: de hecho, el problema es difícil precisamente porque los concursantes o bien no conocían el teorema o bien solamente lo conocían de manera procedimental... la otra dificultad es que incluso conociendo el teorema ¿cómo sabes que el 2 y el 3 son factores primos?... la respuesta es que no lo sabes pero que los puedes incluir (como arriba se comenta)

PD2: estamos esperando tu solución kamilo...

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Perdon x tardar tanto en

Enviado por kamilothunder16 el 1 de Junio de 2010 - 22:03.
5
Perdon x tardar tanto en poner la solucion un poco ocupado con la escuela y el trabajo ( x dejar las cosas para al ultimo xD) pero bueno aqui va:
 
primero vemos que n se escribe de la sig. forma:
n = (2^a)(3^b)(5^c)(7^d)...
entonces :2n = (2^a+1)(3^b)(5^c)... y 3n = (2^a)(3^b+1)(5^c)...
luego vemos que los divisores de 2n y 3n...
divisores de 2n => (a+2)(b+1)(c+1)(d+1)... = 30
divisores de 3n => (a+1)(b+2)(c+1)(d+1)... = 32
si igualamos w = (c+1)(d+1)...
entonces:
(a+2)(b+1)(w) = 30 y (a+1)(b+2)(w) = 32
de aqui vemos que w o es 1 o es 2 (por ser divisor de 30 y 32)
si w = 1
(a+2)(b+1) = 30 y (a+1)(b+2) = 32
ab+a+2b+2 = 30 y
ab+2a+b+2 = 32
restando la de abajo menos la de arriba...
a-b=2, entonces (a+2)(b+1) = (b+4)(b+1)=30, haciendo calculos vemos que eso no es posible
Luego, w = 2. Entonces:
(a+2)(b+1)(2) = 30 y
(a+1)(b+2)(2) = 32
ab+a+2b+2 = 15 y
ab+2a+b+2 = 16
restando la de abajo menos la de arriba...
a-b = 1, a = b+1...
entonces
(a+1)(b+2)(2) = (b+2)(b+2)(2) = 32
(b+2)^2 = 16 => (b+2) = 4 => b = 2
por lo tanto a = 3
Luego
6n = 2x3xn
divisores de n = (a+1)(b+1)(w)
divisores de 6n = (a+2)(b+2)(w)
pero con los datos anteriormente obtenidos tenemos que
divisores de 6n = (a+2)(b+2)(w) = (5)(4)(2) = 40
por lo tanto 6n tiene 40 divisores :P
 
Saludos :P
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Imagen de j_ariel

 Muy buena solución :D yo

Enviado por j_ariel el 2 de Junio de 2010 - 00:35.
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 Muy buena solución :D yo había hecho varios casos y llegaba a lo mismo, pero tu solución está mejor :D. Tengo fe en que hay una solución más corta :P. Saludoz.

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