El multiplo de 2000 más pequeño que es suma de los primeros cuadrados

Aplicando la fórmula de la suma de cuadrados no es muy dificil de ver que el problema consiste en encontrar el número entero $ n > 0 $ más pequeño tal que $ 12 000 $divide a $ n(n+1)(2*n + 1) $.

Para encontrar dicho número observemos primero que $ n $, $ n+1 $ y $ 2n+1 $ son primos relativos por parejas.

Una vez observado que no tiene primos comunes, procedemos a factorizar $ 12 000 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^3 $.

Notemos entonces que para que 12 000 divida a $ n(n+1)(2n+1) $ debe $ 5^3 $ debe dividr a dicho producto, y por no tener primos comunes $ 5^3 $ debe dividir a uno y sólo uno de los factore.

otemos entonces que para que 12 000 divida a $ n(n+1)(2n+1) $ debe $ 5^3 $ debe dividr a dicho producto, y por no tener primos comunes $ 5^3 $ debe dividir a uno y sólo uno de los factore.

Caso I. $ 5^3=125 $ divide a $ 2n+1 $.

Entonces, $ 125t = 2n + 1 $, de donde se observa que $ t $ debe ser impar, esto significa que $ t=2k+1 $.

Substituyendo $ t $ por $ 2k+1 $ se obtiene que $ 125(2k+1) = 2n+1 $, y despejando $ n $ de la igualdad se llega a que $ n = 125k + 62 $.

Por otro lado, $ n $ o $ n+1 $ deben ser pares, por lo que $ 2^5=32 $ (factor de $ 12 000 $) debe dividir a alguno de los dos.

Caso I.a. $ 32 $ divide a $ n $.

Es decir, $ 32 $ divide a $ 125k+62 $. Usando métodos de congruencia se puede despejar $ k $ de la congruencia $ 125k +62 \equiv 0 $ módulo $ 32 $. Y ee llega a que $ k \equiv 10 $ módulo $ 32 $.

Entonces, el número $ n $ más pequeño que satisface este caso (el I.a) se obtiene con $ k=10 $, es decir, $ n=1312 $.

No es muy dificil de ver que $ 1312 $ satisface la condición deseada: $ 12 000 $ divide a $ n(n+1)(2n+1) $.

Caso I.b $ 32 $ divide a $ n+1 $.

Es decir, $ 32 $ divide a $ 125k+63 $. De donde se sigue que $ k \equiv 21 $ módulo $ 32 $. Entonces, el número $ n $ más pequeño en este caso es $ 2688 $, que es más grande que $ 1312 $ (el encontrado en el caso anterior).

En consecuencia, para el caso I, el $ n $ más pequeño es $ 1312 $.

Caso II. $ 125 $ divide a $ n+1 $

Ahora bien, haciendo un análisis similar para el caso II (cuando $ 125 $ divide a $ n+1 $) y el caso III ( cuando 125 divide a $ n $) se obtienen los número $ 2624 $ en el caso II; y $ 1375 $ en el III. En resumen, el número más pequeño que satisface la condición es $ 1312 $ (el del caso I).