Aplicando la fórmula de la suma de cuadrados no es muy dificil de ver que el problema consiste en encontrar el número entero $ n > 0 $ más pequeño tal que $ 12 000 $divide a $ n(n+1)(2*n + 1) $.
Para encontrar dicho número observemos primero que $ n $, $ n+1 $ y $ 2n+1 $ son primos relativos por parejas.
Una vez observado que no tiene primos comunes, procedemos a factorizar $ 12 000 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^3 $.
Notemos entonces que para que 12 000 divida a $ n(n+1)(2n+1) $ debe $ 5^3 $ debe dividr a dicho producto, y por no tener primos comunes $ 5^3 $ debe dividir a uno y sólo uno de los factore.
otemos entonces que para que 12 000 divida a $ n(n+1)(2n+1) $ debe $ 5^3 $ debe dividr a dicho producto, y por no tener primos comunes $ 5^3 $ debe dividir a uno y sólo uno de los factore.
Caso I. $ 5^3=125 $ divide a $ 2n+1 $.
Entonces, $ 125t = 2n + 1 $, de donde se observa que $ t $ debe ser impar, esto significa que $ t=2k+1 $.
Substituyendo $ t $ por $ 2k+1 $ se obtiene que $ 125(2k+1) = 2n+1 $, y despejando $ n $ de la igualdad se llega a que $ n = 125k + 62 $.
Por otro lado, $ n $ o $ n+1 $ deben ser pares, por lo que $ 2^5=32 $ (factor de $ 12 000 $) debe dividir a alguno de los dos.
Caso I.a. $ 32 $ divide a $ n $.
Es decir, $ 32 $ divide a $ 125k+62 $. Usando métodos de congruencia se puede despejar $ k $ de la congruencia $ 125k +62 \equiv 0 $ módulo $ 32 $. Y ee llega a que $ k \equiv 10 $ módulo $ 32 $.
Entonces, el número $ n $ más pequeño que satisface este caso (el I.a) se obtiene con $ k=10 $, es decir, $ n=1312 $.
No es muy dificil de ver que $ 1312 $ satisface la condición deseada: $ 12 000 $ divide a $ n(n+1)(2n+1) $.
Caso I.b $ 32 $ divide a $ n+1 $.
Es decir, $ 32 $ divide a $ 125k+63 $. De donde se sigue que $ k \equiv 21 $ módulo $ 32 $. Entonces, el número $ n $ más pequeño en este caso es $ 2688 $, que es más grande que $ 1312 $ (el encontrado en el caso anterior).
En consecuencia, para el caso I, el $ n $ más pequeño es $ 1312 $.
Caso II. $ 125 $ divide a $ n+1 $
Ahora bien, haciendo un análisis similar para el caso II (cuando $ 125 $ divide a $ n+1 $) y el caso III ( cuando 125 divide a $ n $) se obtienen los número $ 2624 $ en el caso II; y $ 1375 $ en el III. En resumen, el número más pequeño que satisface la condición es $ 1312 $ (el del caso I).
