Aplicando la fórmula de la suma de cuadrados no es muy dificil de ver que el problema consiste en encontrar el número entero n>0 más pequeño tal que 12000divide a n(n+1)(2∗n+1).
Para encontrar dicho número observemos primero que n, n+1 y 2n+1 son primos relativos por parejas.
Una vez observado que no tiene primos comunes, procedemos a factorizar 12000=25⋅3⋅53.
Notemos entonces que para que 12 000 divida a n(n+1)(2n+1) debe 53 debe dividr a dicho producto, y por no tener primos comunes 53 debe dividir a uno y sólo uno de los factore.
otemos entonces que para que 12 000 divida a n(n+1)(2n+1) debe 53 debe dividr a dicho producto, y por no tener primos comunes 53 debe dividir a uno y sólo uno de los factore.
Caso I. 53=125 divide a 2n+1.
Entonces, 125t=2n+1, de donde se observa que t debe ser impar, esto significa que t=2k+1.
Substituyendo t por 2k+1 se obtiene que 125(2k+1)=2n+1, y despejando n de la igualdad se llega a que n=125k+62.
Por otro lado, n o n+1 deben ser pares, por lo que 25=32 (factor de 12000) debe dividir a alguno de los dos.
Caso I.a. 32 divide a n.
Es decir, 32 divide a 125k+62. Usando métodos de congruencia se puede despejar k de la congruencia 125k+62≡0 módulo 32. Y ee llega a que k≡10 módulo 32.
Entonces, el número n más pequeño que satisface este caso (el I.a) se obtiene con k=10, es decir, n=1312.
No es muy dificil de ver que 1312 satisface la condición deseada: 12000 divide a n(n+1)(2n+1).
Caso I.b 32 divide a n+1.
Es decir, 32 divide a 125k+63. De donde se sigue que k≡21 módulo 32. Entonces, el número n más pequeño en este caso es 2688, que es más grande que 1312 (el encontrado en el caso anterior).
En consecuencia, para el caso I, el n más pequeño es 1312.
Caso II. 125 divide a n+1
Ahora bien, haciendo un análisis similar para el caso II (cuando 125 divide a n+1) y el caso III ( cuando 125 divide a n) se obtienen los número 2624 en el caso II; y 1375 en el III. En resumen, el número más pequeño que satisface la condición es 1312 (el del caso I).
Pero,el problema dice
Hijole!! Pues entonces