Elige los signos en la suma

Si se ponen todos los signos positivos se tendrá que la suma será

$$S = 1 + 2 + \cdots + 100 = (100)(101)/2 = 5050$$

Ahora bien, al tomar esta suma y cambiar el signo del sumando $i$ a negativo se estará reduciendo la suma a $5050 - 2i$, en consecuencia, la suma se mantendrá par sin importar qué sumando se cambie a signo negativo.

Entonces, cada cambio de signo es equivalente a restar otro un número par al par 5050, por lo tanto, la suma $\pm 1 \pm 2 \pm \cdots \pm 100$ siempre será par y nunca igual a $13^3 = 169$ que es impar.