¿Existirá alguna manera de elegir los símbolos $ + $ y $ - $ para que se satisfaga la igualdad $ \pm 1 \pm 2 \pm \cdots \pm 100 = 13^2 $ ?
Si se ponen todos los signos positivos se tendrá que la suma será
$$ S = 1 + 2 + \cdots + 100 = (100)(101)/2 = 5050 $$
Ahora bien, al tomar esta suma y cambiar el signo del sumando $ i $ a negativo se estará reduciendo la suma a $ 5050 - 2i $, en consecuencia, la suma se mantendrá par sin importar qué sumando se cambie a signo negativo.
Entonces, cada cambio de signo es equivalente a restar otro un número par al par 5050, por lo tanto, la suma $ \pm 1 \pm 2 \pm \cdots \pm 100 $ siempre será par y nunca igual a $ 13^3 = 169 $ que es impar.
