Primer teorema de la línea media

Versión para impresión

La línea media de un triángulo es paralela a la base y mide la mitad de ésta.

Demostración:

Tracemos la línea media MN de los lados AB y AC del triángulo ABC. El trazo auxiliar que necesitamos es prolongar MN hasta D de tal manera que MN=ND. (Nota: la demostración es clásica y es instructiva de cómo usar trazos auxiliares en la solución de problemas geométricos.)

Los triángulos MNA y DNC son congruentes (criterio LAL).

De aquí que los ángulos MAN y NCD son guales. Como son alternos internos se concluye que CD//MB. También por congruencia, MA=DC.

Pero entonces tenemos que MBCD es paralelogramo (dos opuestos iguales y paralelos). Así que, como MBCD es paralelogramo, se puede concluir que MN//BC y 2MN=BC, como se quería.

Comentario:

Es conveniente que el lector practique en otros ejercicios los argumentos “alternos internos iguales, luego paralelas” y “lados opuestos iguales y paralelos, luego paralelogramo” (de paso puede demostrar esto último usando un argumento de congruencia de triángulos).