Segundo teorema de la línea media

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La paralela a la base que pasa por el punto medio de un lado pasa también por el punto medio del otro lado.

Demostración:

Otra vez el trazo auxiliar que ayuda a la demostración es clásico y muy instructivo. Sea ABC el triángulo y  N el punto medio de AC. Por N tracemos una paralela NM a la base BC. Vamos a demostrar que M es punto medio de AC.

El trazo auxiliar consiste en el segmento que une N con el punto medio K de la base BC. Este trazo nos permite aplicar el primer teorema de la línea media y asegurar KN//AB y KN=AB/2. Pero entonces:

--son iguales los ángulos KNC y  MAN (por ser correspondientes),
--son iguales los ángulos CKN y  NMA (por tener lados paralelos),
--NC=AN (por hipótesis).


(Datos: AN=NC, NM//BC, BK=KC.)

Conclusión: Los triángulos  AMN y NKC son congruentes (criterio LAA).

De aquí que KN=AM. Pero, por ser línea media, 2KN=AB. Es decir, 2AM=AB como se quería.

(Nota: podría argumentarse también que KN=MB por ser MNKB paralelogramo, y…)