De http://www.arrakis.es/, un sitio muy recomendable para los aficionados a las matemáticas de concurso --y que no anden ya en las internacionales— tomo el
Problema 3.Un triángulo ABC tiene en su interior un punto Q de tal manera que los ángulos en la base AB del ABQ son 10 y 20, en la base BC de BCQ son 100 y X, y en la base CA de CAQ son de T y 10. Encontrar T.
Comentarios previos y análisis:
El plan de ataque no es para nada obvio. Prolongando BQ hasta cortar en K la base AC, lo primero que se ve son dos isósceles(identificados por sus ángulos en la base: ABK y KCB ,20-20 y 40-40, respectivamente).
La forma de ver el isósceles KCB es por suma de ángulos y ángulo llano: en C tienen que ser 40 pues con 140 completa 180; en K tienen que ser 40 por ser adyacente de uno de 140.
Un plan obvio es: demostrar ACQ isósceles. Pero después de una breve exploración, tal plan es improbable de realizar –aparte de que posiblemente sea una ilusión óptica. (La dificultad de realizarlo es que no hay forma clara de demostrar AQ=QC.)
Ahora bien, uno puede estar seguro de que las pistas para su solución están en los datos. Por eso uno debería buscar la forma de relacionar los ángulos formando isósceles, equiláteros y/o triángulos congruentes hasta llegar al ángulo T buscado. Tenemos que focalizar esa esquina y buscar una configuración desde la cual la respuesta sea obvia.
La búsqueda de la configuración iluminadora puede llegar a ser desesperante. Sin embargo, aquí la regla es “buscar donde hay luz”: ¿Cómo puedo formar más isósceles? ¿Cómo puedo usar el hecho de que BQ es bisectriz?
Solución:
La bisectriz AQ se puede usar prolongándola y trazando una perpendicular a ella por B. Con eso ya aseguramos otro isósceles –pues la bisectriz es perpendicular a la base sólo si isósceles.
Es más: se forman dos isósceles --uno con vértice en A y otro con vértice en Q.
En la figura siguiente se presenta ese trazo auxiliar de la perpendicular a la bisectriz. Sea M su intersección con BC. Se puede ver que el ángulo QBM es de 60, dado que AQB es de 150 (un ángulo externo es la suma de los internos no adyacentes). Y como la bisectriz es también mediana, entonces, según el criterio LAL, tal bisectriz parte el triángulo BQM en dos congruentes –y se puede ver que BQM es equilátero.
Las pistas clave son la bisectriz BQ, la cual puede traer a presencia un isósceles.
Por otro lado, la perpendicular BM a la bisectriz forma el isósceles BMC (ángulos en la base de 40) y se logra ver que QM=MB=MC, es decir, se logra ver que QMC es isósceles. Y como en el vértice M el ángulo es de 160, el ángulo buscado mide 10.