Del mismo sitio mencionado arriba tomo el
Problema 4.El triángulo ABC es rectángulo isósceles. En su interior se toma un punto D de tal manera que DC=AC=AB. Encontrar el ángulo DCA si se sabe que es igual al DBC.
Análisis:
Lo primero que se debe hacer es dibujar la figura. Lo de equilátero isósceles es fácil. Lo del punto D que cumpla las condiciones es más difícil.
Y lo primero que hay que descubrir es que los ángulos en la base BC son de 45. Como el ángulo DCA es igual que el DBC, entonces los que completan a 45 (el ABD y el BCD) son también iguales.
Es casi obvio que debemos buscar una congruencia de triángulos pero… ¿de cuáles?
Solución:
Apliquemos una vez más la regla de “buscar en donde hay luz”. La luz se hace si dibujamos un trazo auxiliar: un equilátero sobre la base BC. Sea E el punto tal que EBC es equilátero. Entonces los triángulos EAB y EAC son congruentes (por LLL). Y éstos, a su vez son congruentes con el BDC.
Nótese que el ángulo en D es de 135. Pues (llamando x al ACD) el DBC es x y el BCD es 45 –x.
El ángulo EAC es también de 135, pues debe sumar 180 con el de 30 en E y el de 15 en B.
Tenemos pues dos lados y un ángulo correspondientemente iguales. ¿Hay un criterio LLA para congruencia?
Sí. Sólo que el ángulo debe ser el opuesto al lado mayor. (Como en este caso, y el resultado se sigue.)