P2 OMM 2000. Triángulo de números --con regla simple de formación

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:59.

Se construye un triángulo como el de la figura, pero empezando con los números del 1 al 2000.

                 1    2      3        4       5

                    3     5        7       9

                       8      12      16

                          20      28

                              48

Cada número (excepto los del primer renglón) es la suma de los dos números arriba de él. ¿Cuál es el número que ocupa el vértice inferior del triángulo? (Nota: Escribe tu respuesta como producto de primos.)

Observando la pirámide, en

Enviado por Maurizio Tonelli (no verificado) el 4 de Junio de 2013 - 12:02.

Observando la pirámide, en cada renglón con una cantidad de números impar hay un numero intermedio Ej: en 12345 el número intermedio es 3. Además, todos los números son el promedio de los números que están a sus lados ( 123, 2 es promedio de 1 y 3), por lo tanto, el próximo número intermedio en la serie se define multiplicando el anterior numero intermedio por 4. La cantidad de números intermedios en la pirámide (n) se obtiene dividiendo 2000/2 = 1000, y como 2000 es par, el primer número intermedio de la serie se obtiene con: 2000/2+((2000/2)+1) = 2001. Ahora tenemos que n1=2001 y n1000 = Vértice inferior, por lo tanto se deduce que la fórmula para obtener n1000 es = n1 x 4^n-1 = 2001 x 4^999, en factores primos: 3 x 23 x 29 x 2^1998 ^_^ espero no estar equivocado

¡Tu respuesta es correcta!

Enviado por jesus el 7 de Junio de 2013 - 09:09.

¡Tu respuesta es correcta! Pues tu observación sobre que los números intermedios van en progresión geométrica [1] con razón 4, es igualmente correcta.

Lo que no me quedó claro fue la justificación de la progresión. Entiendo perfectamente lo que señalas antes:

El número intermedio existe cuando hay un número impar de elementos en el renglón. Muy claro.
En cada renglón, un número siempre es promedio de los que están a sus lados. Esto es lo mismo que decir que cada renglón es una sucesión aritmética [2]; aunque creo que eso debería justificarse.

Lo que no entiendo, es cómo haces para saltar de estas dos observaciones a que los intermedios van en progresión geométrica con razón 4.

Saludos

Ojalá y nos pudieras dar más detalles. Saludos

Gracias por notificarme y

Enviado por Maurizio Tonelli (no verificado) el 10 de Junio de 2013 - 13:28.

Gracias por notificarme y tienes razón, olvidé dar algunas justificaciones. El primer renglón es indudablemente una sucesión aritmética y el próximo renglón se puede expresar de esta forma: (n1+n2),(n2+n3),(n3+n4),... (nn-1+nn), en el caso del primer renglón: (1+2),(2+3),(3+4)... es lo mismo que (1+2), (1+2+2), (1+2+4)... haciendo que el segundo renglón sea una sucesión aritmética. Para demostrar que funciona así con todos los renglones: en la sucesión aritmética n1,n2,n3... nn, la diferencia entre n1 y n2 es d entonces (n1+n2),(n2+n3),(n3+n4), es lo mismo que (n1+n2),(n1+n2+2d), (n1+n2+2d+2d)... haciendo que un renglón que sea serie aritmética, por ejemplo el 1, produzca solamente otras series aritméticas. Ahora, para justificar porque los intermedios van en progresión geométrica con razón 4: en (n1,n2, n3) n2 es el numero intermedio. Se puede decir que: (n1+n3)/2 = n2 n1+n3 = 2(n2) La pirámide para obtener el próximo intermedio es: i = intermedio oio - r1 oo - r2 i - r3 Para obtener el proximo número intermedio: (n1+n2),(n2+n3) son los números que pertenecen a r2 n1+n2+n2+n3 = 2(n2)+2(n2) =4(n2) -> el próximo número intermedio o r3 Queda demostrado, ahora si ojalá no falten más detalles. Si faltan, es bueno para mi saberlo, para aprender a demostrar mejor un problema. Saludos :)

Perfecto, ya con eso queda

Enviado por jesus el 12 de Junio de 2013 - 13:55.

Perfecto, ya con eso queda completa la justificación. Gracias por tomarte el tiempo.

Me costó un poco de trabajo entender la notación, sobre todo de esta parte:

.. intermedio es: i = intermedio oio - r1 oo - r2 i - r3

Espero tener tiempo la próxima semana para poner tu solución en la redacción del problema.

Por otro lado, para lograr un mejor formato de la notación te recomiendo usar LaTeX, en Matetam tenemos un Acordeón de LaTeX [3] para que aprendas rápidamente a usarlo.

Ahh!! Y también, para que tus comentarios no tengan que esperar a ser aprobados te recomiendo registrarte en el sitio, es muy fácil. Y si usas tu cuenta de Facebook es aún más fácil.

Saludos

Perfecto, ya me registré, si,

Enviado por Maurizio Tonelli Rgz el 12 de Junio de 2013 - 14:41.

Perfecto, ya me registré, si, la parte dificil de entender en realidad no la quería escribir asi, la quería escribir verticalmente solo para mostrar como estaba formada la pirámide, pero a la hora de enviar el comentario se puso de forma horizontal.

Pero bueno, voy a checar el acordeón de LaTeX, y espero poder contribuir mejor.

Saludos :)

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Enviado por Maurizio Tonelli Rgz el 12 de Junio de 2013 - 14:42.