Problemas - Combinatoria

Problema

La amistad es una relación simétrica

Enviado por jmd el 11 de Octubre de 2010 - 11:27.

 En un grupo de personas, cada dos de ellas tiene exactamente un amigo en común en el grupo. Prueba que hay una persona que es amiga de todas las demás personas en el grupo. (Nota: la amistad es mutua, es decir, si X es amigo de Y, entonces Y es amigo de X.)

Problema

Combinatoria en el campamento

Enviado por jmd el 21 de Septiembre de 2010 - 18:44.

 En un campamento de verano que va a durar n semanas se quiere dividir el tiempo en $3$ períodos de manera que cada período empiece en un lunes y termine un domingo. El primer período se dedicará a labores artísticas, el segundo será para deportes y en el tercero se hará un taller tecnológico. Durante cada período se escogerá un lunes para que un experto en el tema del período dé una plática. Sea $C(n)$ el número de formas en que puede hacerse el calendario de actividades.

Problema

Cambios de estado en cuadrícula 6X6 --con luciérnagas

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:38.

En cada cuadrado de una cuadrícula de $6\times6$ hay una luciérnaga apagada o encendida. Una movida es escoger tres cuadrados consecutivos, ya sean los tres verticales o los tres horizontales, y cambiar de estado a las tres luciérnagas que se encuentran en dichos cuadrados. (Cambiar de estado a una luciérnaga significa que si está apagada se enciende y si está encendida se apaga.) Muestra que si inicialmente hay una luciérnaga encendida y las demás apagadas, entonces no es posible hacer una serie de movidas tales que al final todas las luciérnagas estén apagadas.

Problema

Caballos en el tablero

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:25.

Considera un tablero de ajedrez. Los números del 1 al 64 se escriben en las casillas del tablero como en la figura:

  1       2       3        4       5        6       7       8
  9     10     11     12     13     14     15     16
17     18     19     20     21     22     23     24

Problema

P3 OMM 2006. Números 1..2n en cuadrícula 2Xn

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:28.

Sea $ n $ un número entero mayor que 1. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos los números $1,2,\ldots,2n$ en las casillas de una cuadrícula de $2 \times n$, uno en cada casilla, de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que comparten un lado de la cuadrícula?

Problema

P5 OMM 2005. Con cualquiera de las restantes se completa

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:04.

Sea $N$ un entero mayor que 1. En cierta baraja de $N^3$ cartas, cada carta está pintada de uno de $N$ colores distintos, tiene dibujada una de $N$ posibles figuras y tiene escrito un número entero del 1 al $N$ (no hay dos cartas idénticas). Una colección de cartas de la baraja se llama completa si tiene cartas de todos los colores, o si entre sus cartas aparecen todas la figuras o todos los números. ¿Cuántas colecciones no completas tienen la propiedad de que, al añadir cualquier otra carta de la baraja, ya se vuelven completas?
 

Problema

P6 OMM 2004. Cambios de dirección en cuadrícula 2004X2004

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 10:03.

¿Cuál es el mayor número posible de cambios de dirección en un recorrido sobre las líneas de una cuadrícula de $2004\times 2004$ casillas, si el recorrido no pasa dos veces por el mismo lugar?

Problema

P4 OMM 2004. Número de equipos en un torneo

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 09:47.

Al final de un torneo de futbol en el que cada par de equipos jugaron entre si exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos $A, B, C,$ si $A$ le ganó a $B$ y $B$ le ganó a $C$ entonces $A$ le ganó a $C$. Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas estas diferencias resultó ser 5000. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.

Problema

P4 OMM 2002. Hileras de dominó --con suma impar

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 07:01.

Una ficha de dominó tiene dos números (no necesariamente diferentes) entre 0 y 6. Las fichas se pueden voltear, es decir, $[4,5]$ es la misma ficha que $[5,4]$. Se quiere formar una hilera de fichas de dominó distintas, de manera que, en cada momento de la construcción de la hilera, la suma de todos los números de las fichas puestas hasta ese momento sea impar. Las fichas se pueden agregar de la manera usual a ambos extremos de la hilera, es decir, de manera que en cualesquiera dos fichas consecutivas aparezca el mismo número en los extremos que se juntan.

Problema

P1 OMM 2002. Operaciones sobre cuadrícula 32X32

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 06:42.

 En una cuadrícula de $32\times32$ se escriben los números del 1 al 1024 de izquierda a derecha: los números del 1 al 32 en el primer renglón, los del 33 al 64 en el segundo, etc. La cuadrícula se divide en cuatro cuadrículas de $16\times16$ que se cambian de lugar entre ellas como sigue: