Bisectrices exteriores de trapecio

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$ABCD$ es un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$ se intersectan en $P$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $A$ y $D$ se intersectan en $Q$. Demuestre que la longitud de $PQ$ es igual a la mitad del perímetro del trapecio $ABCD$.




Imagen de kamilothunder16

bueno, aqui primero trazamos

bueno, aqui primero trazamos la figura... (= x falta de tiempo no la pude aser... xD)

despues, trazamos 2 perpendiculares desde la recta CD, una que pase por P y otra x Q.

denotemos a los pies de las perpendiculares por T y U, respect., y a donde se corta a la recta que pasa x A y B como R y S, respect.

entonces SRTU rectangulo. Se nombra a los angulos x sus letras (angulo SAQ=AQD=a, angulo RBP=CBP=b, angulo BCP=PCT=c y angulo ADQ=QDU=d)

luego como AB paralela a CD, el angulo suplementario del angulo SAD es 2d, por tanto 2a+2d=180 entonces a+d=90, lo mismo para b+c=90.

con esto tenemos que el angulo AQD y BPC sonrectos, y se puede apreciar x un poko de caceria de angulos que los triangulos ASQ, AQD y QUD son semejantes, y lo mismo para los triangulos BRP, BPC y PTC.

De aqui se pueden obtener las siguientes relaciones:

de los traingulos ASQ y AQD:

SQ/QD = AQ=AD, de donde SQ=AQ*QD/AD

de los triangulos AQD y QUD:

AQ/QU = AD/QD, de dodne QU=AQ*QD/AD

entonces SQ/QU =1, ===> SQ=QU, entonces Q punto medio de SU.

lo mismo para los traingulos BRP semejante con BPC:

RP/PC = BP/BC, de donde RP= BP*PC/BC

traingulo BPC semejante con PTC:

BP/PT = BC/PC, de donde PT=BP*PC/BC

por tanto RP/PT=1 de donde RP = PT

luego P, Q puntos medios de RT y SU, entonces PQ paralela a SR=AB y a TU=CD.

denotemos ahora por X e Y donde el segmento PQ corta a los lados BC y AD respect.

entonces QY , por ser paralela a SA y UD, y ser Q punto medio de SU, entonces QY mide SA+UD/2.

Lo mismo para XP = BR+CT/2

Luego XY mide AB+CD/2. (1)

nos falta demostrar algo todavia... xD

como QY paralela a SA, angulo QYA = 2d, entonces angulo AQY = a, por tanto QY=YA=YD; lo mismo para BX=XP=XC.

Entonces QY= SA+UD/2 = AD/2 (2)

y XP = BR+CT/2 = BC/2 (3)

ahora sumamos (1), (2) y (3)

QY + YX + XP = AD/2 + (AB+CD)/2 + BC/2 = (AB + CD + BC+ AD) /2

lo que queriamos demostrar

P.D. si no sta bn o tengo algo mal me avisan xfas xD

Imagen de j_ariel

 Me tomó algo de tiempo hacer

 Me tomó algo de tiempo hacer la figura y seguir tu razonamiento. Primero, creo que deberías hacer una correción en donde pusiste

luego P, Q puntos medios de RT y SU, entonces PQ paralela a SR=AB y a TU=CD.

También, creo que podrías explicar mejor la parte donde pones

entonces QY , por ser paralela a SA y UD, y ser Q punto medio de SU, entonces QY mide SA+UD/2.

Por todo lo demás, es una buena solución. Procura tener más claridad (menos faltas de ortografía, separar ecuaciones para distinguirlas). Dejo la figura del problema usando tu notación:

saludoz.

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rayos sta demasiado larga la

rayos sta demasiado larga la sol....

Imagen de kamilothunder16

ahmmm.. gracias zzq por la

ahmmm.. gracias zzq por la ayuda xD tomare las sugerencias en cuenta y aprendere a escribir mejor xD...

emmm oiep x alguna extraña razon no puedo modificar mi solucion... puedo modificar mi segundo comentario (el anterior a este... el k dice "rayos sta demasiado larga la sol...") pero no el de la soolucion...

bueno en cuanto a los errores que tuve...

el 1º "luego P, Q puntos medios de RT y SU, entonces PQ paralela a SR=AB y a TU=CD."

ahi puse que PQ es paralela a SR, y a su vez lo es con AB y PQ paralela a TU, y a su vez lo es con CD. xD lo puse mas corto porque tenia algo de prisa al momento de subir la solucion...

luego el 2º "entonces QY , por ser paralela a SA y UD, y ser Q punto medio de SU, entonces QY mide SA+UD/2."

respecto a eso, la linea media de un trapecio es aquella que pasa por los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio... y es paralela a los segmentos paralelos de un trapecio ( o bases, como tmb se les denomina). Bueno, pues como QY es paralela a SA y UD y pasa por Q, Q es punto medio de SU, y no es muy dificil demostrar que Y es punto medio de AD.

Luego, otro aspecto de la linea media es que mide la mitad de la suma de las bases, por tanto QY mide (SA + UD) / 2.

Espero que ahora si este bien... xD sino, me avisan y lo vuelvo a subir xD

Imagen de j_ariel

 Pero el segmento no es

 Pero el segmento $SR$ no es igual al segmento $AB$. Lo que si es lo mismo es la recta $SR$ y la recta $AB$ (creo que a eso te referías).

saludoz

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:O! cierto cierto... ya

:O! cierto cierto... ya corregi el error... gracias Zzq :P