¿Incírculo o excírculo?

Sean los puntos de tangencia al incírculo de los lados , respectivamente, y el punto de tangencia al incírculo del segmento . Vamos a usar el hecho de que las tangentes a un círculo --trazadas desde un punto externo-- son iguales.

El perímetro de es . Pero . Por tanto, el perímetro de es . Por otro lado, y . De aquí que el perímetro de . Es decir, el perímetro de .

Regla mnemónica:

El lector haría bien en aprender de memoria esta relación recien demostrada; para ello podría resultarle de alguna utilidad imaginar bisagras de los puntos desde donde se trazan las tangentes iguales; después de ello es fácil imaginar que las tangentes y se abaten sobre los lados y del triángulo en la forma de y , etc.

Nota:

El nombre del problema trataría de reflejar el hecho de que el incírculo de es también excírculo de . Si denotamos con el perímetro del triángulo , se tendría la siguiente relación: o bien .