L1.P21 (Cuadrado en el centro de un cuadrado)

 Los triángulos del tipo SPO son congruentes (por LAL: l 90 l/2). De aquí que también sean congruentes los del tipo PP'O. Y esto porque los ángulos no rectos de SPO son correspondientemente iguales a los ángulos no rectos de los otros tres triángulos del mismo tipo (PQL, QRM y RSN). Pero entonces el cuadrilátero P'Q'R'S' tiene sus cuatro ángulos interiores iguales. Es decir, es un cuadrado.

Vamos ahora a demostrar que los triángulos rectángulos del tipo SP'P tienen la misma área que el cuadrado central, con lo cual habríamos dividido el cuadrado PQRS en cinco secciones de igual área y el resultado se sigue.

Para ello observemos que los pares de segmentos que unen vértices con puntos medios de los lados son paralelos (SO//QM y PL//RN). Si focalizamos un triángulo como el SPP' observamos que NS' es paralela a la base PP' y pasa por el punto medio del lado SP. De aquí que --por el teorema de la línea media-- PP'=2NS' y S' es punto medio de SP'.

Esto demuestra que SS' mide lo mismo que el lado del cuadrado central. (Ésta y la otra conclusión de que PP'=2NS' se pueden usar para una demostración visual girando los triángulos del tipo NSS' sobre el punto medio 180 grados. Se pide al lector que intente justificar que esta operación de giro forma cuatro cuadrados en los lados del central congruentes con el central.)

Se le pide al lector también que demuestre --dado lo que se sabe hasta aquí-- que los triángulos SS'P y S'P'P tienen un área igual a la mitad de la del cuadrado central. Esto concluiría el plan original y el resultado se sigue. (Es decir, el cuadrado PQRS es 1/5 del área del cuadrado central.