Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB< AC$ y el ángulo $BAC$ es el doble del ángulo $BCA$. Sobre el lado $AC$ se toma un punto $D$ tal que $CD = AB$. Por el punto $B$ se traza una recta $l$ paralela a $AC$. La bisectriz exterior del ángulo en $A$ intersecta a $l$ en el punto $M$, y la paralela a $AB$ por $C$ intersecta a $l$ en el punto $N$. Prueba que $MD = DN$.
bno... se ase el dibujo...
bno... se ase el dibujo... xD... denotemos al angulo ACB por x, por tanto el angulo BAC =2x y denotemos a ABC por 180-3x.
luego, x alternos internos MBA = 2x y NBC = x; tambien el angulo MAB mide 90-x y por tanto BMA mide tmb 90-x. Por tanto, MB = BA = CD.
Pero kmo MB paralela a AC y MB = CD, MBCD es paralelogramo. Entonces angulo BMD mide x.
Denotemos a la recta paralela a AC por B L1, y a la recta paralela a AB por C L2.
Despues, por ser BN paralelo a AC y AB paralela CN, BNCA tmb paralelogramo. Entonces BN=AC y AB=CN.
Enotnces BM = AB = CD = CN. Luegop, por ser angulo BCN = 180-3x, angulo BCA = x y de ahi angulo NCA = 180-2x, por ser isosceles angulo DNC = angulo NDC = x. Pero como angulo BMD tmb = x, entonces MDN isosceles, pro tanto MD=DN.
Si no le entienden, avisenme xD....
P.D. nop puse la figura x falta de tiempo.. xD
bueno me encontre con este
bueno me encontre con este problema y la verdad es que se me ha llegado a dificultar bastante, sobretodo porque no me habia dado cuenta de un dilema que hace imposible que $MD$ = $ND$ entonces me propuse a encontrar que estaba mal en mi razonamiento y no encotre nada, supuse que el problema estaba en el dibujo y lo hice con regla, compas y todo lo necesario y segui llegando a la misma conclucion; $MC$ = $NC$ y esto hace que la demostracion se haga imposible puesto que si se tienen estas dos paralelas $BN$ y $AC$ y despues tenemos a la recta $MN$ sobre $BN$, va haber solo un punto sobre $AC$ (llamemos a este punto $H$) tal que el triangulo $MHN$ sea isoceles con $MH$ = $NH$, y este punto 'H' es 'C', osea que no va haber otro punto sobre AC talque sea isoceles con M y N. A continucacion les dejo mi demostracion de que $MC$ = $NC$ para que porfavor me digan en que esta mal:
la verdad es que no se como subir imagenes a matetam, pero el triangulo lo hice obtusangulo con el vertice $A$ en el angulo mayor a 180º, y mi duda es que tanto afecta el hecho de que la bisectriz exterior en $A$ no intersecta a la recta $L$ bueno no tal cual puesto que la bisectriz del angulo concavo es la misma recta que biseca al angulo convexo, Denotemos al angulo $ABC$ = $b$ y al angulo $BAC$ = 2 $a$ y al angulo $BCA$ = $a$ , de esto se tiene que
$BA$ = $BM$ por complementareidad y
denotemos por $E$ el punto de interseccion de la bisectriz en $A$ con $BC$ ,se deduce que $AE$ = $EC$ luego los angulos $EBM$ = $BMA$ = $BCA$ = $a$ entonces $BE$ = $EM$ los triangulos $BME$ y $AEC$ son congruentes e isoceles
luego observamos los triangulos $BEA$ y $MEC$ como son opuestos por el vertice y $BE$ = $EM$ ademas $AE$ = $EC$ entonces estos triangulos son congruentes por $LAL$ y por lados correspondientes se tiene que $BA$ = $MC$ = $NC$ y $MNC$ es isoceles entonces el triangulo $MDN$ no puede ser isoceles a menos que $D$ = $C$ lo cual no es posible.
saludos desde reynosa:)!
Te puedo apoyar con la figura
Te puedo apoyar con la figura solamente por ser políticamente correcto. Sólo te pido que estimes la probabilidad de que tú hayas descubierto un bug en un problema de la OMM.
Te voy a dar además dos pistas:
1)¿qué ángulo forman las bisectrices de un ángulo?
2)¿cuánto suman los ángulos consecutivos de un paralelogramo?
(la solución de kamilo parece estar en el camino correcto pero.... ¿a quién se le ocurre escribir la solución de un problema en sintaxis del facebook?
Te saluda
Se tiene que por dato AB = CD
Se tiene que por dato AB = CD y que por paralelogramo CN = AB ; entonces CD = CN y que el angulo NCB = CBA entonces es facil ver que DNC = X y que por complementareidad ;
si el angulo BAC = BNC = 2X luego
los angulos BND + DNC = BNC = 2x, sustituyendo
BND + X = BNC = 2x
donde BND = x, por lo tanto
los angulos NMD = MND, donde el triangulo MND es isoceles con
MD = DN.
muchas gracias por la ayuda:)
saludos desde reynosa!