Conjuntos cuadrilibres

Enviado por jmd el 18 de Mayo de 2013 - 04:46.
Versión para impresión
Su voto: Ninguno Media: 5 (1 voto)

Un subconjunto del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} se dice cuadrilibre si la suma de los elementos de cualquier subconjunto de él no es un cuadrado. Por ejemplo, el subconjunto {1,3,8} no es cuadrilibre ya que tanto {1} como {1,8} son subconjuntos de él. ¿Cuál es el tamaño más grande que puede tener un subconjunto cudrilibre?

 
Para escribir comentarios, puedes conectarte usando Facebook
Conectarme ahora
Estás conectado con Facebook

Comentarios

Imagen de Usuario anónimo

#1 Eliminamos el 1, el 4 y el 9,

Enviado por Usuario anónimo (no verificado) el 29 de Mayo de 2013 - 20:48.
Eliminamos el 1, el 4 y el 9, ya que son cuadrados perfectos y todos los subconjuntos que los contienen no son cuadrilibres. Ahora consideremos que de los subconjuntos $\{2, 7\}$ y $\{3, 6\}$ no podemos tomar ambos elementos ya que $2 + 7 = 3 + 6 = 9 = 3^2$, entonces entre esos dos conjuntos tomamos como maximo 2 elementos. Si queremos que nuestro subconjunto tenga 5 elementos, forzosamente tenemos que tomar dos numeros de los subconjuntos antes mencionados, y tambien los 3 que no hemos considerado (el 5, el 8 y el 10), en particular, tomamos un numero del subconjunto $\{2, 7\}$, digamos que este numero que tomamos es $a$, observemos que si tomamos el 5, el 8 y el 10, forzosamente se forma un conjunto no cuadrilibre, considerando ambos posibles valores de $a$: Si $a = 2, 2 + 5 + 8 + 10 = 25 = 5^2$, mientras que si $a = 7$, entonces $7 + 8 + 10 = 25 = 5^2$ Con esto vemos que no es posible formar un subconjunto cuadrilibre de 5 elementos. Ahora para probar que el maximo subconjunto cuadrilibre tiene 4 elementos, basta con dar un ejemplo de uno que tenga 4, como el $\{2, 3, 5, 8\}$, y con esto terminamos.
Imagen de jesus

#2 Exceptuando el ejemplo de

Enviado por jesus el 1 de Junio de 2013 - 18:59.

Exceptuando el ejemplo de cuatro elementos tu argumento está completo. En especial está muy bien la demostración de que no hay subconjuntos cuadrilibres de A = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10} de 5 elementos.

Te comparto mi argumentación de ese paso. Dividimos a A en los tres conjuntos ajenos {2,7}, {6,10} y {3, 5, 8}. De ninguno de estos conjuntos podemos tomar todos sus elemenos, o se formará un cuadrado: $2+ 7 = 3^2$, $6+10 = 4^2$ y $3+5+8 = 4^2$. Por ello, un conjunto cuadrible a lo más puede tener 1+1+2 = 4 elementos.

Saludos

Imagen de jmd

#3 OK Pero 3+5+8=16. También te

Enviado por jmd el 30 de Mayo de 2013 - 10:53.

OK Pero 3+5+8=16. También te faltó decir que de {6,10} no se puede tomar ambos.

Te saluda

José Muñoz Delgado

Imagen de Usuario anónimo

#4 Ups :P, pensé que si era

Enviado por Usuario anónimo (no verificado) el 30 de Mayo de 2013 - 18:24.
Ups :P, pensé que si era cuadrilibre, pero bueno, creo que el subconjunto $\{2, 3, 5, 10\}$ si es cuadrilibre (y si no ya me rindo :S), si pensé lo del {6, 10} pero no pensé que fuera muy útil.
Imagen de jmd

#5   Es increible ver cómo un

Enviado por jmd el 2 de Junio de 2013 - 06:49.

 

Es increible ver cómo un problema elemental presenta una dificultad tan grande --la demostración de que no pueden existir cuadrilibres de 5 elementos. La solución de Jesús es directa y elegante --una partición adecuada del conjunto salva la dificultad con un argumento cristalino. 
 
Notemos que la partición obvia es la de anónimo: $\{2,7\}$, $\{3,6\}$,$\{5,8,10\}$. 
 
Nota: 
 
El argumento de anónimo es correcto, pero no es convincente (porque queda la sensación de que no consideró  $\{3,6\}$ --y se siente que algo le falta).
 
Viéndolo de nuevo, creo que sería convincente si le agregara (antes de "Con esto vemos que...") una aclaración más o menos así:
 
"Por tanto, con $\{2,7\}$ y $\{5,8,10\}$ se puede formar un cuadrilibre de a lo más 3 elementos. Así que, al agregar uno de los elementos de $\{3,6\}$, el cuadrilibre sería de a lo más 4." 
 
Y, bueno, le ofrezco una disculpa a anónimo por mi comentario anterior que parece una tacha. Pero hay que decir que su comentario-solución al problema de cuadrilibres es lo que ha dado pie para este valioso intercambio de comentarios. Las gracias le sean dadas. 
 
Los saluda

José Muñoz Delgado