Se dice que un número natural $n$ es "sensato" si existe un entero $r$, con $1 < r < n-1$, tal que la representación de $n$ en base $r$ tiene todas sus cifras iguales. Por ejemplo, 62 y 15 son sensatos, ya que 62 es 222 en base 5 y 15 es 33 en base 4. Demuestre que 1993 no es sensato pero 1994 si lo es.
Hola... aquí desempolvándome
Hola... aquí desempolvándome en resolver problemas de Olimpiada...
Primero todo número par $\geq 6$ es sensato ya que $2n = 2(n-1) + 2 = 22_{n-1}$ y $2\leq n-1 \leq2n -2 $. Por lo tanto 1994 es sensato.
Supongamos que 1993 es sensato. Entonces podemos escribir $$1993 = \sum\limits_{i=0}^n a r^n= a \sum\limits_{i=0}^n a r^n$$
donde $r$ es la base en la cual 1993 es sensato y $a$ es el dígito repetido.
Como 1993 es primo y $r\leq 1991$ la igualdad anterior implica que $a=1$. entonces debemos tener $1993 =(11...1)_{r}= \sum\limits_{i=0}^n r^n$ de ahi $1992 = \sum\limits_{i=1}^n r^n$ y por lo tanto r divide a $1992= 2^3* 3 * 83$
Hey Lalo, algo falló, pues no
Hey Lalo, algo falló, pues no salió toda la prueba. ¿Crees que puedas compartirnos lo que faltó?
De antemano, gracias por compartirnos tu solución.