Antes de hablar del punto fantasma (no tengo acceso a una computadora entonces quiero hablar de algo simple xD), hace unos dias estaba entrenando para la CVM de CARMA porque es la primera a la que le voy a entrar, y el P4 de 2021 lo senti de que "que es esto?", y en si, todos los problemas de geo de CARMA para mi son muy trolls, o sea, no dificiles, pero tienes que ver algo que mate sus problemas (nome gusta eso xD). Pero bueno, veamos lo que hay.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB$ = 15 cm y $BC$ = 20 cm. Considera la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. Si la tangente a dicha circunferencia en $B$ es perpendicular a la recta que contiene el segmento $AC$. Determina la medida del segmento $AC$ en centimetros.

Vayamos por partes, elemental, primero dibujamos el círculo. 

Ahora vamos a trazar $AC$ (como sea).

Ahora, vamos a trazar una tagente que sea perpendicular a $AC$, y en el punto de Tangencia estará $B$. Trazamos $BC$. Prolonguemos a $AC$ hasta que toque a la tangente, y al punto de intersección lo llamamos $P$.  

Entonces, ahora que!? Bueno, tener una tangente, y tener un ángulo de 90 que te dice? Segmentos cuadrados no? Por potencia del punto desde $B$, $BP^2$ = $PA*PC$. Por pitágoras, $BP^2$ + $PC^2$ = $BC^2$ = $20^2$ = 400. Entonces tenemos que $BP^2$ + $PC^2$ = 400. Sustituyendo a BP, tendríamos que $PA*PC$ + $PC^2$ = 400. Factorizando, ahora tenemos que $PC(PA+PC)$ = 400. Y aquí es donde viene la magia... Qué es "$PA + PC$"? Yo cuando vi el problema dije, "pues, literalmente a PC le agregamos PA, no?" y aqui es donde usamos una herramiente super util, a $PC$ le agregamos $PA$. ¿Cómo?

Primero que nada, el <$APB$ = 90, entonces, si nosotros trazamos $PA$ al lado opuesto de $PC$, que tenemos? Exacto, una mediatriz. Sea $A'$ el punto en el plano tal que $A', P, A, C$ son colineales y $A'P$ = $AP$. 

Ahora, vamos a usar una propiedad super poderosa de las mediatrices, "Si prolongamos segmentos desde los puntos opuestos de la mediatriz, hasta que toquen el mismo punto, tendremos isósceles", y eso es lo que vamos a hacer. Trazamos $BA'$ y entonces tendríamos que el $BA'$ = $AB$ = 15 cm.

Pero esto no nos dice nada...? Eso es lo que ustedes creen. Regresemos a los ΔPBC y ΔABC. No se si en MATETAM exista un blog al respecto, si no, luego lo redacto, pero usaremos un lema que me enseñó el famosísimo de esta comunidad, Germán Puga, el llamado "Lema Popular". 

Entonces, usando el Lema Popular de Germán, Como tenemos que $BP$ es tangente al circuncírculo de $ABC$, entonces <$ABP$ = $ACB$ (estos dos se llamaran α) y el <$PBC$ = <$BAP$ (los llamaremos β). Entonces, α+β=90 para completar los 180° con el <$BPC$. Pero que pasa, por el isósceles, el <$A'BP$ = <$ABP$ = α. Entonces, <$A'BC$ = <$A'BP$ + <$PBC$ = α+β = 90. Entonces, por pitágoras, $A'P^2$ + $BC^2$ = $A'C^2$ $\Rightarrow$ $15^2$ + $20^2$ = 225 + 400 = 625 = $A'C^2$ $\Leftrightarrow$ $A'C$ = 25. Por lo tanto, $PA + PC$ = 25. 

Regresando a lo que estaba allá arriba XD, teníamos que $PC(PA + PC)$ = 400, y como $PA + PC$ = 25, entonces 25PC = 400 $\Leftrightarrow$ $PC$ = 16. Entonces $PA$ + 16 = 25, $\Rightarrow$ $PA$ = 9, y $AC$ + 9 = 16 $\Rightarrow$ $AC$ = 7. 

A qué me refiero con "problema troll", es que, si no hubiera hecho el álgebra del principio, como yo iba a saber que ocupaba trazar la reflexión de AP, y también, haber sabido interpretar ese "$PA + PC$". No son como los problemas de la OMM que casi siempre tienes que andar cazando ángulos, usabas 1 propiedad que en lo personal yo me acordé así de la nada que existía XD, entonces por eso digo, no son difíciles los problemas de CARMA, pero pues si ocupas como cosas muy técnicas.

En resumen, el problema se basa en:

1.- Usar Pitágoras y sustituir con la potencia desde P.

2.- Prolongar la reflexión de AP para generarte un isósceles

3.- Usar el lema popular para ver el ángulo de 90

4.- Terminar

Eso fue todo por hoy.

Saludos: Sam :p