El día de ayer me encontraba viendo el p5 de la OMM 2010 con Eduardo Ortiz Salles. El chiste era encontrar una solución diferente a la que está escrita en matetam y a la de AOPS. Después de mucha cacería de ángulos usando la configuración del Ortocentro-Punto Medio, le dije a Eduardo "el problema sale si esto vale verde"... y Eduardo dice, "Esto si vale verde porque estas dos son paralelas". (El contexto lo verán en la solución del problema).
Para llegar a esas paralelas, tenía que cumplirse el siguiente enunciado:
"Sean $C_1, \ C_2$ dos circunferencias de mismo radio que se intersecan en los puntos $B$ y $C$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $E$ un punto sobre $C_1$ y sea $F$ un punto sobre $C_2$ tal que $E, M, F$ son colineales. Demuestra que $M$ es también punto medio de $EF$."
Le pedí ayuda a un amigo de CDMX para la demostración, pero es básicamente que "los triángulos $BEC$ y $BFC$ son simétricos respecto a $M$".
Considero que esta propiedad podría ser muy útil a la hora de hacer problemas. Aún no tiene un nombre..., pero la publico en este blog para que no digan que no es un hecho conocido si se llega a usar en un concurso nacional :p