Intermedio

Problemas de nivel estatal y similares.
Problema

Una factorización no trivial

Enviado por jmd el 20 de Mayo de 2009 - 21:58.

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

$$x^4 +6x^3 +11x^2 +6x +1$$

$$x^4 +6x^3 +11x^2 +6x$$

Genera un problema de concurso, en vista de las dos factorizaciones.

Problema

Residuo de un factorial (módulo un primo)

Enviado por jmd el 19 de Mayo de 2009 - 11:02.

Encontrar el residuo que deja 50(50!) al dividirlo entre 53.

Problema

Inverso (mod 151) de una potencia de 2

Enviado por jmd el 19 de Mayo de 2009 - 10:21.

Encontrar un número entero positivo que al multiplicarlo por $2^{145}$ y al resultado restarle 1, se obtenga un múltiplo de 151.

Problema

Expresable como combinación lineal

Enviado por jmd el 19 de Mayo de 2009 - 09:41.

Decidir (con justificación) cuál de los tres números $2007, 2008, 2009$ podría ser expresado como una combinación lineal entera de 453 y 408, es decir, en la forma $453x+408y$, con $x, y$ enteros.
 

Problema

Encontrar un residuo

Enviado por jmd el 19 de Mayo de 2009 - 09:20.

Encontrar el residuo que deja $2009^{2008}$ al dividirlo entre $9$

Problema

Demostrar cuadrado

Enviado por Luis Brandon el 18 de Mayo de 2009 - 13:03.

Sea ABCD un cuadrilatero tal que los angulos internos en los vertices A, B, y C son de cuarenta y cinco grados. Demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilatero determinan un cuadrado.

Propuesto por: Fernando

Problema

Media armónica de las bases de un trapecio.

Enviado por jesus el 16 de Mayo de 2009 - 17:54.

Considere $\mu$ un segmento paralelo a las bases $a$ y $b$ de un trapecio, de tal manera que $\mu$ pasa por el punto de intersección de las diagonales y sus extremos están sobre los lados del trapecio. Demostrar que $\mu$ es la media armónica de $a$ y $b$, es decir: \mu = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

Problema

No es un cuadrado perfecto

Enviado por Fernando Mtz. G. el 15 de Mayo de 2009 - 05:31.

Demostrar que si $y$ es un entero, $187y-1$ no es un cuadrado perfecto.

Problema

División anular

Enviado por jmd el 14 de Mayo de 2009 - 10:29.

Sean $a, b, c$ tres números enteros positivos tales que $a$ divide a $b^2$, $b$ divide a $c^2$ y $c$ divide a $a^2$. Demostrar que $abc$ divide a $a^7+b^7+c^7$.
 

Problema

Una factorización notable

Enviado por jmd el 11 de Mayo de 2009 - 11:08.

Encontrar todos los enteros $ n $ tales que $n^4+4$ es primo.

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