Intermedio

Problemas de nivel estatal y similares.
Problema

2k malitos

Enviado por jmd el 2 de Junio de 2009 - 18:11.

La PGR detuvo a $2k$ presuntos malitos para interrogarlos: $k$ policías y $k$ funcionarios.

Problema

Palabras alienígenas

Enviado por jmd el 2 de Junio de 2009 - 12:15.

a) ¿Cuántas palabras de 6 letras se pueden formar con el alfabeto $\{A,E,L,R,T\}$?

b) ¿Cuántas se pueden formar si inician y terminan en consonante $(L,R,T)$?

c) ¿Y si además contienen las dos vocales $A,E$ pero en posiciones no adyacentes?

Problema

Regiones 2009, problema 1

Enviado por jmd el 31 de Mayo de 2009 - 19:30.

¿De cuántas formas se pueden colocar los números $0,1,2,3,4,5,6$, uno en cada casilla del siguiente panal, sin que haya 2 múltiplos de 3 en casillas adyacentes (i.e., con un lado en común)?
 

Problema

El fácil del Regiones 2009

Enviado por jmd el 31 de Mayo de 2009 - 13:21.

¿Cuántos números $abcd$ de 4 dígitos distintos, múltiplos de 36 y menores que 4000 son tales que el producto de $ab$ por $cd$ es múltiplo de 7?

Problema

Diofantina condicionada

Enviado por jmd el 27 de Mayo de 2009 - 13:19.

Encontrar todos las parejas de enteros positivos $(x, y)$ que sean solución de la ecuación diofantina $20x+9y=2009$, y que además sean cuadrados perfectos consecutivos. Nota: $(x,y)=(100,1)$ y $(x,y)=(1,221)$ son soluciones de la ecuación diofantina pero no cumplen la condición.
 

Problema

Propiedades del máximo común divisor

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2009 - 18:46.

Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor de dos números $a$ y $b.$ Nota: hay dos formas usuales de notación para el máximo común divisor, MCD$(a,b)$ o simplemente $(a,b)$.

Problema

Diofantina en dos variables

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2009 - 17:56.

Encontrar todas las parejas $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación diofantina $x^3+y^3=4(x^2y+xy^2)+1.$

Problema

Lema de Euclides --instancia de uso

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2009 - 10:41.

Encontrar todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales el producto $(a^4+1)(b^2-1)$ es divisible entre 39 pero sus factores $(a^4+1)$ y $(b^2-1)$ no.
 

Problema

P1. OMM 1987. Suma de dos fracciones que dan entero

Enviado por jesus el 23 de Mayo de 2009 - 14:31.

Consideremos dos fracciones reducidas $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ con $ b, d>0$ . Si la suma de estas dos fracciones es un número entero entonces $b=d$.

Problema

Fermat converso (en general, espurio)

Enviado por jmd el 20 de Mayo de 2009 - 22:19.

Demostrar que si $p, q$ son dos primos distintos para los cuales $a^p\equiv a \pmod{q}$ y $a^q\equiv{a} \pmod{p}$, entonces $a^{pq} \equiv a \pmod{pq}$. }

Demostrar, con este resultado, el siguiente contraejemplo para la conversa del pequeño teorema de Fermat: $2^{340} \equiv 1 \pmod{341}$ --¡pero 341 es compuesto!

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