Intermedio

Si $p$ es un primo impar y $a$ es primo con $p$, entonces $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod{p}$. (Por ejemplo, todo cuadrado perfecto primo con 5 termina en 1 o en 9 o en 4 o en 6.)
 

Encontrar todas las parejas $(x,y)$ de dígitos, tales que el número $2x1y9$ sea múltiplo de 101.

Encontrar todos los números enteros positivos de cuatro cifras de la forma $n=abab$ (la primera y la tercera cifras son iguales, así como la segunda y la cuarta) y tales que el producto de sus cifras divide a $n^2$.

Sea $n\geq2$ un entero. Los números $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son elementos del conjunto $\{-1,1\}$ y cumplen la ecuación $x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_nx_1=0$. Demostrar que $ n $ es múltiplo de 4.

Los adolescentes de una preselección olímpica de matemáticas tienen una actividad de entretenimiento favorita: 17 son adictos al Xbox (conjunto A1), 13 a las series americanas de TV (A2), 8 a la resolución de problemas de concurso (A3), y 6 no tienen actividad recreativa conocida.

 Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$

 Demostrar que todo primo impar n excepto el 5 divide a algun numero de la forma $111...11$ ($k$ digitos, todos unos).

Sea $p$ un número primo. Encontrar la condición que debe cumplir n para que $1+n+n^2+....+n^{p-2}$ es múltiplo de $p$.

Determina si existen infinitos enteros $ k $, que cumplen que para cualquier primo $ p $, el numero $p^2+k$ siempre es compuesto.

Por ejemplo si tomamos $k=2$, para $p=2$ dicho numero es compuesto pero para $p=3$ no lo es...

Encontrar todas las soluciones $(x,y)$  en enteros positivos para la ecuación $7^x-3\cdot 2^y=1.$