4. Acotando al fallo con la función s(n)

Enviado por Samuel Elias el 7 de Junio de 2026 - 09:40.

Para un número entero positivo $n$, sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$, por ejemplo $s(12)=1+2=3$. Halla todas las tripletas de enteros mayores que cero $(a, b, c)$ tales que

$$s(a+b)=c, \ s(b+c)=a, \ s(c+a)=b$$

Sugerencia

Sugerencia:

Usa tamaños. ¿Será que la suma de dígitos es comparable con algun número cualquiera?

Demuestra que todos los números son de 1 dígito. ¿Serán todos iguales?

Solución

Solución:

Por módulo 9, se tiene que $s(n) \equiv n \pmod 9$, entonces:

$$c\equiv a+b, \ a \equiv b+c, b \equiv c+a$$

Si pasamos restando (en la primera congruencia) la $b$ y sustituimos la $a$, tenemos que $c-b \equiv b+c \pmod 9 \iff 2b\equiv 0 \pmod 9$. Como $mcd(2,9) = 1$, entonces $b \equiv 0 \pmod 9$. Análogamente, $a \equiv b \equiv c \equiv 0 \pmod 9$.

$WLOG, \ c \geq b \geq a$. Sea $k$ la cantidad de dígitos que tiene $c$. Entonces, como $10^{k-1} \leq c<10^k$, $a+b\leq c+c=2c < 2\cdot 10^k < 10^{k+1}$.

Como $s(n) \leq 9k$ si $n$ tiene $k$ dígitos, entonces $c=s(a+b)\leq 9(k+1)$. Por tanto,

$$9(k+1)\geq c \geq 10^{k-1}$$.

Usando tamaños, $k\leq 2$, entonces $c \leq 9(2+1)=27$. Como $c \equiv 0 \pmod 9$, entonces $c = 9, 18, 27$.

Si $c=27$, $a+b \leq 54$, pero $max s(a+b)=13$ usando $a+b=49$, por tanto este caso es imposible.
Si $c=18$, $a+b \leq 36$, pero $max s(a+b)=11$ usando $a+b=29$, imposible.
Si $c=9$, tenemos que $a \equiv b \equiv c \equiv 0 \pmod 9$, y que $c\geq b \geq a > 0$, entonces $a=b=c=9$.

Si confirmamos: $s(9+9)=s(18)=9$.

Mi solucion con

Enviado por sebas islas el 8 de Junio de 2026 - 10:17.

Mi solucion con funcion?!?!??!

Llamemos $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que $f(x)$ es la cantidad de dijitos de $x$. Ahora como las igualdades son simetricas podemos asumir que $a \geq b\geq c$. Ahora en cada igualdad (vamos agarrar la primera y la ultima) veamos que $9 \cdot f(a+b) \geq s(a+b) = c$ y $9\cdot f(b+c) \geq s(b+c) = a$. Es facil ver que $f(a+b)\geq f(b+c)$ por lo que $9\cdot f(a+b) \geq c \geq 9\cdot f(b+c) \geq a$ y vemos que $c\geq a$ lo que obliga $a=b=c$ entonces ahora solo tenemos que resolver $s(2a)=a$

Para resolver esa equacion usamos que las $s(2a)\equiv 2a \equiv a \pmod{9}$ por lo que $a\equiv 0 \pmod{9}$. Ahora veamos que por la desigualdad de hace rato que $9\cdot f(2a) \geq s(2a)$ digamos que $a$ tiene $k$ cifras. Podemos fue que $2a$ tiene como maximo de cifras $k+1$ por lo que $9(k+1) \geq 2a$ y tambien vemos que $a\geq 10^{k-1}$ pero entonces $9(k+1) \geq 10^{k-1}$ y por tamaños, eso no es cierto con $k\geq3$ por lo que $k=2$ o $k=1$.

Cuando $k=2$ obtenemos que $27\geq a \geq 10$ y como $a$ es multiplo de $9$ entonces aqui se saca $a=27$ o $a=18$ las cuales no funcionan.

Cuando $k=1$ sale $a=9$ y si funciona por lo que la unica solucion es $(a,b,c) = (9,9,9)$