Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que $1900 \rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1$. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.
Primero nos fijamos que para
Primero nos fijamos que para que un número sea suertudo, toda la cadena de sumas hasta el $1$ es formada por números suertudos.
Supongamos que $n$ es suertudo. Sea $f(n)=111 \cdots111$ con $n$ digitos $1$, el cuadrado de sus digitos suma $n$, el cual es suertudo, por lo tanto $f(n)$ es suertudo. También $g(n)=111 \cdots 1110$ con $n$ digitos $1$ y un $0$ es suertudo por el argumento anterior.
Si $n$ y $n+1$ son suertudos, entonces $f(n+1)$ y $g(n)$ son suertudos y como tienen los todos sus digitos iguales excepto su ultimo digito, que es $1$ y $0$ respectivamente, entonces tambien son consecutivos. Por lo tanto bastará con encontrar una pareja de suertudos para generar infinitas.
Nos fijamos que $129 \rightarrow 86 \rightarrow100 \rightarrow1$ y que $130 \rightarrow 10 \rightarrow 1$ por lo tanto $(129,130)$ es la pareja inicial que buscamos.
Excelente demostración, muy
Excelente demostración, muy elegante. Sólo tengo una pregunta, ¿cómo encontraste 129 y 130?
Me fijé que Luego probé [1]
Me fijé que
$7 \rightarrow 49 \rightarrow 97 \rightarrow 130 \rightarrow 10 \rightarrow 1$
Luego probé $\pm 1$ cada uno de esa lista, hasta encontrar uno, y encontré que el $129$ cumplía y era consecutivo con $130$.
Como dato curioso, $(31,32)$ tambien funciona, ese lo encontré por fuerza bruta jeje.
¿Cuántos números suertudos