Problema 3. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Para darte una sugerencia más apropiada, ¿nos podrías contar qué has intentado hacer?

Hola Weldesney,

El problema es que la identidad así obtenida sólo se vale cuando existen enteros $a$ y $b$ tales que $x = ab+a+b$ y $y=ab$. De no existir esos enteros, no hay garantía de que tu identidad $f(x)-f(y) = x-y$ sea cierta.

Por ejemplo, si $y=1$ y $x=4$ no existen enteros $a$ y $b$ tales que $4=ab+a+b$ y $1=ab$ ya que en la última igualdad sólo es posible cuando $a=b=1$.

Mi recomendación es NO tratar de probar que $f(x) = x$, únicamente demostrar que $f(2015) = 2015$. No estoy seguro de poder probar que $f(x)=x$.

La estrategia para pensar este problema es observar que si $f(x)-f(y) = x-y$ entonces $f(x)=x$ si y sólo si $f(y)=y$. Por ello llamaré a $x$ e $y$ equivalentes (pueden llamarlos hermanos, o como quieran) y denotemos como $x \simeq y$.

Observé algunas reglas como:
\begin{eqnarray*}
2n +1 &\simeq& n\\
ab + a + b &\simeq& ab
\end{eqnarray*}
Aplicando la primera varias veces se sigue que $2015 \simeq 1007 \simeq \dots \simeq 62$, es decir, $2015 \simeq 62$.

Y le seguí buscando hasta probar que $62 \simeq 23 \simeq 15 \simeq 1$ De donde se sigue que $2015 \simeq 1$ y por lo tanto $f(2015) -f(1) = 2015 -1$, es decir, $f(2015)=2015$

Espero que les sirva la sugerencia.

Saludos




 

Leyendo mi comentario, veo que no dejé muy claro el significado de $x \simeq y$. A continuación la definición precisa:

Diremos que $m \simeq n$ si se satisface que $f(m) -f(n) = m - n$.

Es evidentemente que $\simeq$ satisface las siguientes propiedades:

• $n \simeq n$ para cualquier entero positivo $n$ (Propiedad reflexiva)
• $m \simeq n$ implica que $n \simeq m$ (Propiedad simétrica)
• $l \simeq m$ y $ m \simeq n$ entonces $l \simeq n$ (Propiedad transitiva)

A quien le interese, estas tres propiedades convierten a $\simeq$ en una relación de equivalencia.

Lo importante aquí es sobre todo la propiedad transitiva. Por ejemplo, es fácil observar que $7 \simeq 3$ y que $3 \simeq 1$, y por la propiedad transitiva se sigue que $7 \simeq 1$ (Por eso me gusta escribir $7 \simeq 3 \simeq 1$).  Luego, de que $7 \simeq 1$ se sigue que $f(7) - f(1) = 6$.

Espero haber sido más claro, saludos.

Hola Weldersay,

Qué bueno que te gustó mi forma de atacar el problema, pensé que te parecería muy técnica.

Sobre cómo obtuve la relación $2n+1 \simeq n$ pues es únicamente aplicando la general $ab+a+b \simeq ab$ en el caso $a=n$,  $b=1$. Batallé más en encontrar las relaciones que hacen que $62 \simeq 1$.

Por cierto, estuve pensando en este problema y ya vi que es posible probar no sólo que $f(2015) = 2015$, si no que $f$ es la identidad ( que para todo entero $n$, $f(n) = n$).

La manera de probarlo consiste en observar que todo entero es equivalente a uno más pequeño. Para los impares es cierto gracias a la propiedad $2n+1 \simeq n$.

Para los pares hay que hacer un poco más de trabajo, por ejemplo, $$2^\alpha n \simeq  2^{\alpha}n  + 2^{\alpha} + n  \simeq 2^{\alpha-1}n +2^{\alpha-1} + (n-1)/2$$

Este último únicamente es una reducción de $2^\alpha n$ si $n>1$, es decir, no funciona para las potencias de 2.

Para el caso potencia de 2, hice lo siguiente: $$2^\alpha \simeq 3\times 2^{\alpha-1} + 2 \simeq 2^2 \times 2^{\alpha-3} +2 \simeq \cdots \simeq 3^{\beta} \times 2^{\alpha -(2\beta-1)} +2$$

No es muy difícil ver que si $\beta = \alpha/2$ (o el entero por arriba de \alpha/2), entonces habremos llegado a una reducción de $2^{\alpha}$. Bueno, en concreto llegaremos a que $2^{2\beta-1} \simeq (3^\beta +1)/2$ lo cuál es una reducción siempre que $\beta \geq 2$.  Además $2^{2\beta} \simeq 2(3^{\beta}+1)$, lo cuál es una reducción siempre que $\beta \geq 3$.

Por los párrafos anteriores cualquier entero mayor a 1 (que no sea potencia de 2) será equivalente a una potencia de 2 menor que él. Y toda potencia de 2 será equivalente a un número más chico, siempre que esa potencia de dos no sea $1, 2, 4$ o $16$. Es decir, cada número se puede reducir bajo equivalencia hasta hacerlo equivalente a uno de los números $1, 2, 4$ o $16$.

Pero estos últimos cuatro número son efectivamente equivalentes.

Te mando saludos y es bueno saber que te han servido mis sugerencias.