P2. OMM 1988. Expresiones equiresiduales (módulo 19)

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:56.

Si $a$ y $b$ son enteros positivos, pruebe que 19 divide a $11a+2b$ si y sólo si 19 divide a $18a+5b$

Ver también:

Divisibilidad [1]

Ver también:

Números Enteros [2]

si 19/11a+2b, entonces

Enviado por pedro1234 el 5 de Julio de 2010 - 21:37.

si 19/11a+2b, entonces [11a+2b cong a o mod 19], la otra ecuacion queda [18a+5b cong a o mod 19], que es igual a [-1a+5b cong a 0 mod 19], entonces [5b congruente a a mod 19]. si de la primera ecuacion de congruencias sale la segunda y viceversa, el problema habra terminado. de la primera se tiene [2b cong a 8a mod 19], se multiplica por 5 y queda, [10b cong a 40a cong a 2a mod 19]. pero como 10=2*5, entonces queda. [2*5b cong a 2a mod 19], como [2 cong a 2 mod 19], entonces [5b tiene que ser congruente a a mod 19.] y [18a+5b cong a 0 mod 19]

de reversa queda dela segunda ecuacion [5b congruente a a mod 19] entonces al multiplicar por 2 se obtiene [10b cong a 2a mod 19], que es lo mismo a [10b cong a 40a mod 19] ya que [5 cong a 5 mod 19], [2b tiene que ser cong a 8a mod 19] que es lo mismo a que [2b cong a 8a mod 19] entonces [-8a+2b cong a 0 mod 10], entonces [11a+2b cong a o mod 19]

Hola Jorge, casi está

Enviado por jesus el 6 de Julio de 2010 - 13:01.

Hola Jorge, casi está correcta tu demostración. Lo único que no me gusta son estas dos afirmaciones:

[2*5b cong a 2a mod 19], como [2 cong a 2 mod 19], entonces [5b tiene que ser congruente a a mod 19.]

[10b cong a 40a mod 19] ya que [5 cong a 5 mod 19], [2b tiene que ser cong a 8a mod 19]

En ellas estás usando la siguiente afirmación:

$$ac \equiv bc \pmod{m} \quad \Rightarrow \quad a \equiv b \pmod{m}$$

Pero esa afirmación es FALSA. Mira el siguiente ejemplo:

$$ 9 \times 2 \equiv 4 \times 2 \pmod{10} $$

Me faltaba decirte, no sé si

Enviado por jesus el 6 de Julio de 2010 - 13:05.

Me faltaba decirte, no sé si viste el otro mensaje [3], pero te lo repito por si no fué así. Para usar latex en los comentarios te recomiendo leer el acordeón de latex [4]. Luego es muy complicado leer la notación [a cong a b mod c], es más conocida la notación $a \equiv b \pmod{c}$

Si entonces también divide

Enviado por coquitao el 8 de Julio de 2010 - 02:48.

Si $19 | (11a+2b)$ entonces $19$ también divide a

$(-7)(11a+2b)+19(5a+b) = (95-77)a+(19-14)b = 18a+5b.$

Por otra parte, si $19|(18a+5b)$ entonces $19$ divide a

$(-11)(18a+5b)+(19)(11a+3b)=11a+2b$

y la prueba termina. QED.

Simple y directo. Para el [5]

Enviado por jmd el 8 de Julio de 2010 - 05:33.

Simple y directo.

Para el novicio: si un número $ n $ divide a una expresión $f(a,b)$ entonces también divide a una combinación lineal entera $kn+mf(a,b)$ --y ya sólo es cosa de buscar los multiplicadores $k,m$ adecuados de manera que esa combinación sea la otra expresión $g(a,b)$...

Los saluda