Divisibilidad clásico de la OMM

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Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el número $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es múltiplo de 3804.




Imagen de pedro1234

La ecuación es multiplo de

La ecuación es multiplo de 3804 solo si lo es de 3,4 y 317, ya que esta estos son los factores de 3804.n3-n=(n-1)(n)(n+1), por lo que la ecuación es multiplo de 3. n3-n es par y al ver (58n+4+34n+2) 5 a una potencia par  es impar. Y 3 a lo que sea es impar por lo que (58n+4+34n+2) es igual a impar+impar=par, entonces se tiene parxpar=2ax2b=4ab, por lo que la ecuación es multiplo de 4, solo falta el caso de 317. Al ver el problema con congruencias queda [58n+4+34n+2cong. a  0  mod 317], o [58n+4 cong a -34n+2 mod 317]. Pero se tiene que [54 cong a -9 cong a –(32) mod 317]. Por lo que [(54)2n+1cong a –(32)2n+1 mod 317]. Por lo que [58n+4 cong a -34n+2 mod 317], y [58n+4+34n+2cong. a  0  mod 317]. Entonces (n3-n) (58n+4+34n+2) cong a 0 mod 3804.

Imagen de jesus

Está muy bien tu solución,

Está muy bien tu solución, con muy buen manejo de las congruencias. La voy a poner como la solución oficial.

Por otro lado, te recomiendo leer el acordeón de latex para ver cómo incrustar fórmulas matemáticas en los comentarios.

Saludos