Sin polinomios simétricos inútil es intentarlo

Vamos a usar la recurrencia $S_n=\sigma_1S_{n-1}-\sigma_2S_{n-2}+\sigma_3S_{n-2}$ para polinomios simétricos de la forma $S_n=a^n+b^n+c^n$.

Según la notación de los polinomios simétricos, $\sigma_1=a+b+c=S_1$, $\sigma_2=ab+bc+ca$, $\sigma_3=abc$. También se tiene que $S_2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$, y que $S_0=a^0+b^0+c^0=1+1+1=3$. Es decir, $S_2=\sigma_2^2-2\sigma_1$, y $S_0=3$. Pero, por dato, $\sigma_1=0$. Así que:

$$S_2=-2\sigma_2$$

$$S_3=3\sigma_3$$

$$S_4=2\sigma_2^2$$

$$S_5=-5\sigma_2\sigma_3$$

$$S_6=-2\sigma_2^3+3\sigma_3^2$$

$$S_7=7\sigma_2^2\sigma_3$$

Ahora el resultado se verifica fácilmente:

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \frac{a^7+b^7+c^7}{7} = \sigma_3\sigma_2^2\sigma_3$$

$$\Big( \frac{a^5+b^5+c^5}{5} \Big) ^2=(\sigma_2\sigma_3)^2$$