Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1$ y que $ \frac {1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1$
XXIIIOMM Problema 3
»
- Inicie sesión o regístrese para enviar comentarios
Para la primera parte se
Para la primera parte se puede usar el principio del minimo de arthur engel.
Para la segunda parte se puede multiplicar por $(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$ en ambos lados de la desigualdad y partir de allí.
Un buen problema, yo resolví
Un buen problema, yo resolví la primera parte...
a^3 b^3 c^3
----------- ------------ ------------- =
a^3+2 b^3+2 c^3+2
a^3(1/a) b^3 (1/b) c^3(1/c)
---------------- + ------------------ + ------------------ =
a^3+2(1/a) b^3+2(1/b) c^3(1/c)
a^2 b^2 c^2
------------------ + ------------------------- + ------------------------ >=
a^3+2 b^3+2 c^3+2
---------- ------------ -----------
a b c
(a+b+c)^2
-------------------------------------------------=
bc(a^3+2) + ac(b^3+2) + ab(c^3)
(a+b+c)^2 (a+b+c)^2
------------------------------------ = ---------------------= 1
a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab (a+b+c)^2
LQQD
perdon pero soy principiante asi que no se como escribirlo bien...
en el cuarto paso utilice "una desigualdad util"
Creo que la segunda parte es equivalente a la primera pero no recuerdo como llegar de una a la otra
Perdon por el error en el
Perdon por el error en el paso 2
a^3(1/a) b^3 (1/b) c^3(1/c)
--------------- + ------------------ + ------------------ =
(a^3+2)(1/a) (b^3+2)(1/b) (c^3+2)(1/c)
Corregido
Con $\frac{a^3 }{a^3+2
Con $\frac{a^3 }{a^3+2 }=1-\frac{2 }{a^3+2 }$ la primera desigualdad se reduce a la segunda, con lo que solo hace falta probar esta última.
Alguien sabe que es, el principio del mínimo de arthur engel?