Torneo de tenis

El final es jugado por dos jugadores que son los vencedores de dos partidos semifinales. Estos cuatro, a su vez, son los vencedoeres de los cuartos de final (4 partidos, 8 jugadores). Entonces, al principio tiene que haber $2^n$ jugadores que juegan $2^{n-1}$ partidos de los cuales quedan vencedores $2^{n-1}$ jugadores, etc.

Por tanto el número de partidos en un torneo de tenis con $2^n$ jugadores es $1+2+4+\ldots+2^{n-1}=2^n-1$ partidos (aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica).

Argumento alternativo

Cada partido tiene un perdedor. De los $2^n$ jugadores, todos perdieron exactamente un partido (el partido en que fueron eliminados). Excepto el campeón, quien los ganó todos. Por lo tanto, hay $2^n-1$ partidos en un torneo de tenis que inicia con $2^n$ jugadores.

Nota: Los dos argumentos cuentan lo mismo; en el primero el cálculo de la suma se hace con la fórmula de la suma de una serie geométrica, pero si se desconociera esa fórmula, los dos argumentos combinatorios demuestran la identidad $1+2+4+\ldots+2^{n-1}=2^n-1= 2^n-1$