¿Cacería de ángulos? Sí, pero con trazo auxiliar...

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Sea $ABC$ un triángulo tal que sus ángulos $B$ y $C$ miden 100 y 62 grados, respectivamente. Sobre los lados $AB$ y $AC$ se toman los puntos $M$ y $N$, respectivamente, tales que $\angle{MCB}=52, \angle{NBC}=80$. Obtén la medida de $\angle{CMN}$




Imagen de jmd

  El trazo auxiliar más

 

El trazo auxiliar más natural para resolver el difícil de la ONMAS 2013 es quizá la perpendicular a $CM$ por $N$. Y esto porque se puede conjeturar (con una buena figura) que $MC$ es bisectriz del $\angle{BMN}$. Así que, si la conjetura fuese cierta, ese trazo haría aparecer un isósceles --con uno de sus lados $MN$.
 
Otro trazo mas o menos natural sería una recta (externa la triángulo dado) por $C$ formando 20 grados con $CM$. Y esto con la idea de formar un cíclico --aprovechando el ángulo de 20 en el enunciado.
 
Los saluda
Imagen de jesus

La construcción que yo hice

La construcción que yo hice fue la de trazar la bisectriz del ángulo NBM.

Llamemos P y Q a los puntos de intersección de dicha bisectriz con los segmentos CA y CM  respectivamente. No es dificil convencerse de que los cuadriláteros BCPM y BCNQ son cíclicos. Después de hacer la cacería de ángulos correspondiente, apoyándones en los recien descubiertos cuadriláteros, se puede demostrar que $\angle PMQ  = \angle PNQ = 90^\circ$. De donde se sigue que el cuadrilátero PNQM es cíclico. De donde se aprecia que $\angle NMQ = \angle NPQ = 28^\circ $