Circunferencia tangente a un cateto

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Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC=90$, $BC=72$, $AC=78$. Se considera un punto $D$ sobre el lado $AB$ de tal modo que $2AD=BD$. Sea $O$ el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $A$ y $D$ y es tangente al lado $BC$. Encuentra la medida del segmento $OB$.




Imagen de José Luis Domínguez

Sea $R$ el punto de tangencia

Sea $R$ el punto de tangencia de $BC$ con la circunferencia. Aplicamos Teorema de Pitágoras en el triángulo $ABC$ con los datos del cateto y la hipotenusa y obtenemos que $AB = 30$. Como $AB = AD + BD = AD + 2AD = 3AD$, $AD = 10$ y $BD = 20$. Aplicando potencia de punto, $BR^2$ = $AB\cdot BD$ = $30\cdot20$ = $600$. Así, PR = 600.

Consideremos la altura de $AOD$ bajada desde $O$, y ésta corta a $AD$ en $M$. Al ser $OD = OA$ por ser radios, $AOD$ es isósceles y $M$ es punto medio de $AD$ con $MO$ perpendicular a $AD$. Así $AM = DM = 5$, entonces $BM = BD + DM = 20 + 5 = 25$. $OM = BR$ al ser ambas perpendiculares a $AB$. Por último, consideramos el triangulo rectangulo $BMO$, aplicamos Teorema de Pitágoras y tenemos que $OB^2$ $BM^2$ + $OM^2$ $25^2$ + (600)2 $1225^2$Por lo tanto, $OB = 35$.

Imagen de German Puga

Hola José Luis, tu solución

Hola José Luis, tu solución es un poco distinta a la oficial en la parte de $BR^2 = 600$ la oficial usa de nuevo pitágoras y no potencia del punto, el cual es un argumento muy limpio. Te comento la mia por si te interesa conocer otras soluciones: 

Haciendo B=(0,0)  el origen y AB el eje de las ordenadas no es difícil llegar a que A=(0,30) y D=(0,20) si asignamos a $O$ las coordenadas $(x,y)$ como la circunferencia es tangente a BC entonces tiene radio $y$ y como A,D pertenecen a esta circunferencia las distancias a $O$ son iguales y también los cuadrados de las disttancias,hay que usar la formúla de la distancia para calcular $OA$ y $OD$ así:

$$x^2 + y^2 - 60y + 900 = x^2 + y^2 -40y +400=y^2$$  de aquí haciendo álgebra $y=25$ notemos que no hay que obtener el valor de x pues $x^2 + y^2 = y^2+ 40y +400 = 625 +40 \cdot 25 - 400 = 35^2 $ Ahora usando de nuevo la formula de la distancia OB^2 = 35^2. Acabamos.

Saludos

germán