Sea $ ABC $ un triángulo rectángulo en $A$. La circunferencia con diámetro $AB$ corta a $ BC $ en $D$, y la circunferencia que pasa por $A, D,$ y el punto medio $O$ de $AB,$ corta a $CA$ en $P$ y corta nuevamente a $ BC $ en $Q$. Demuestra que $PQOA$ es un rectángulo.
El problema es engañoso porque da la impresión de ser más fácil de lo que realmente es. Por ejemplo, una pista falsa es la del punto medio: el cognizador gastará un tiempo precioso buscando probar paralelismo con línea media. Tampoco sirve buscar algo con la cuerda común y la línea de centros.
Una estrategia elemental que si funciona es la de probar que $AQ$ también es diámetro, con base en la mediana a la hipotenusa común de los triángulos rectángulos $OAP$ y $OQP.$
Ayuda:
Por dato, el ángulo en $A$ es recto, y concluimos que $PO$ es diámetro. Para probar que $AQ$ es diámetro tenemos que probar que $AQ$ pasa por el centro (denotémoslo con $R$). Para ello se trazan las medianas $AR$ y $QR$ a la hipotenusa común $OP$. Una vez hecho eso se emprende una cacería de ángulos con la idea de llegar a que en $R$ los ángulos son suplementarios.
El cognizador haría bien en dibujar la mediana $QR$ deliberadamente chueca (no alineada con la otra) para que no lo engañe la figura y suponga lo que tiene que demostrar (que $AQ$ pasa por $R$). Una vez demostrado que $AQ$ es diámetro el resultado se sigue.
Haz por venir... a MaTeTaM (Todos fueron convocados, pocos serán elegidos...)
Ejercicio: usar medianas a la
Ejercicio: usar medianas a la hipotenusa
El problema es engañoso porque da la impresión de ser más fácil de lo que realmente es. Por ejemplo, una pista falsa es la del punto medio: el cognizador gastará un tiempo precioso buscando probar paralelismo con línea media. Tampoco sirve buscar algo con la cuerda común y la línea de centros.
Una estrategia elemental que si funciona es la de probar que $AQ$ también es diámetro, con base en la mediana a la hipotenusa común de los triángulos rectángulos $OAP$ y $OQP.$
Ayuda:
Por dato, el ángulo en $A$ es recto, y concluimos que $PO$ es diámetro. Para probar que $AQ$ es diámetro tenemos que probar que $AQ$ pasa por el centro (denotémoslo con $R$). Para ello se trazan las medianas $AR$ y $QR$ a la hipotenusa común $OP$. Una vez hecho eso se emprende una cacería de ángulos con la idea de llegar a que en $R$ los ángulos son suplementarios.
El cognizador haría bien en dibujar la mediana $QR$ deliberadamente chueca (no alineada con la otra) para que no lo engañe la figura y suponga lo que tiene que demostrar (que $AQ$ pasa por $R$). Una vez demostrado que $AQ$ es diámetro el resultado se sigue.
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Los saluda