Área de un equilátero

Enviado por Fernando Mtz. G. el 14 de Marzo de 2009 - 20:10.
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Sea ABC un triangulo equilátero y R el radio de la circunferencia que lo circunscribe, demuestre que el area del triangulo es igual a: $$ 3R^2\sqrt{3}/4 $$

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Sea O el centro de la

Enviado por Javiercasanova el 14 de Mayo de 2009 - 19:52.
Sea O el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo XYZ, sea P la intersección de YZ con la prolongación de XO, sea R el radio de la circunferencia, y 2A el lado del triángulo.
 
Como XYZ es un triángulo equilátero XP es una mediana y como las medianas se cortan a razón 2:1   OP = R/2 lo que implica que XP = 3R/2.
 
Luego tenemos por Pitágoras en el triángulo XPZ :
4A2 = A2 + 9R2/4
3A2  = 9R2/4
A2   = 3 R2/4
A = R(3)1/2 /2
2 A = R(3)1/2
 
Por tanto el área del triángulo es : (R(3)1/2) (3R/2) / 2 = 3R2(3)1/2 /4        L.Q.Q.D

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