IMO 2009 Problema 2

Es claro que $AB$ y $AC$ son paralelas a $MK$ y $ML$, respectivamente. De ahi es claro que $\angle{PAQ}=\angle{LMK}$ y que: $\angle{APQ}=\angle{PMK}=\angle{MLK}$ (igualdades que son claras del paralelismo y de la tangencia del circuncirculo de $KLM$ a $PQ$) De ahi tenemos que los triangulos $APQ$ y $MLK$ son semejantes de ahi las siguientes relaciones son faciles de ver aprovechando la semejanza encontrada y el paralelismo que mencione al principio. $\frac{AP}{AQ}=\frac{ML}{MK}=\frac{QC}{PB}$ por lo que conseguimos que: $AP*PB=AQ*QC$ ($*$ indica multiplicacion) Prolonguemos $PQ$ hasta que corte el circuncirculo del triangulo $ ABC $ en $E$ y $F$ como se muestra en la figura. Usando la potencia de un punto respecto a $P$ y $Q$ tenemos que: $AP*PB=EP*PF=FQ*QE=AQ*QC$ de donde es facil de probar que $ M$ es el punto medio de $EF$ y por consiguiente $OM$ es mediatriz de dicho segmento y el resultado pedido es claro.