Triángulos de igual área

Se va a demostrar que los lados opuestos de un cuadrilátero son paralelos si y sólo si cada una de sus diagonales lo divide en dos triángulos de igual área.

La condición es necesaria (es decir, si es paralelogramo entonces la condición se cumple):

La demostración es trivial y se deja al lector (baste decir, para el principiante, que paralelogramo implica la condición más restrictiva de triángulos congruentes --y si son congruentes entonces son de igual área)

La condición es suficiente:

Sea ABCD el cuarilátero convexo. La diagonal AC del cuadrilátero es base común de los triángulos ACB y ACD. Y como, por hipótesis, (ACB)=(ACD) entonces B y D están a una misma distancia de la base AC (y claramente en lados opuestos de AC). Es decir, B está sobre una paralela a AC a una distancia d de AC y D está en una paralela a AC a una distancia d de AC. (Análogamente A y C están a una misma distancia de la diagonal BD y por lo tanto están sobre paralelas a BD a una misma distancia d' de BD.)

Tenemos entonces ubicado el cuadrilátero ABCD en un paralelogramo cuyos lados son paralelos a las diagonales de ABCD. Si ahora llamamos P al punto de intersección de las diagonales de ABCD, es fácil demostrar (mediante el criterio ALA de congruencia) que P es punto medio de ambas diagonales.

Y si P es punto medio de las diagonales, de nuevo por congruencia de triángulos (ahora por LAL) se puede ver que los ángulos alternos internos (de lados opuestos con la diagonal como transversal) son iguales. Se concluye que los lados opuestos son paralelos.