Ternas Pitagóricas

Lema: Todo cuadrado perfecto deja residuo 1 o 0  en la división entre 3.

Demostración del lema

Este es un ejercicio elemental de lógica matemática. Vamos a analizar los residuos del entero $n$ antes y después de elevarlo al cuadrado. Sólo hay tres posibles residuos para x:

$x=3k$             $x^2=9k^2$          deja residuo 0
$x=3k+1$    $x^2=9k^2+6k+1$    deja residuo 1
$x=3k+2$  $x^2=9k^2+12k+4$    deja residuo 1

En resumen:

Si $x$ deja... entonces $x^2$ deja...
    0                   0
    1                   1
    2                   1
Y son todos los casos. (Nota: el lema se puede enunciar como "si un número entero positivo deja residuo 2 en la división entre 3 entonces no puede ser cuadrado perfecto")

Solución al problema:

Analicemos la ecuación pitagórica $a^2+b^2=c^2$ según sus residuos al dividir entre 3. Las posibilidades son: $0+0=0$ (no es primitiva), $0+1=1$, $1+1=2$ (imposible, por el lema) y $1+0=1$. Y son todos los casos. (Notemos que $c$ es múltiplo de 3 sólo en el caso en que la terna no es primitiva.) Notemos también que el caso $0+0=0$ se podría expresar como: "si c es múltiplo de 3 entonces$ $a y $b$ también lo son"

Redacción alternativa

Si $a$ fuese múltiplo de 3 ya no hay nada que probar. De otra manera $a^2$ deja residuo 1 al dividir entre 3. Pero $b^2$ no puede dejar residuo 1 (pues dejaría 2 y ello contradice el lema). Por lo tanto $b^2$ deja residuo 0 en la división entre 3. Es decir, $b$ es múltiplo de 3.