Dentro del hábitat de la escuela y las matemáticas escolares se tiene una dinámica propia impuesta por los deberes administrativos de los profesores y los usos y costumbres de los alumnos y los profesores.
En ese medio ambiente escolar, algunos temas y métodos de enseñanza se adaptan mejor que otros. Y hay algunos que nunca han logrado adaptarse y, en consecuencia, se han extinguido o se han refugiado en nichos más favorables. (Como se sabe, las ardillas se refugian en los bosques --si son ebanales mejor, pues también hay mahuacatas.) Consecuencia: han desaparecido de los textos escolares.
Al cliente lo que pida
Para dar una idea a quienes no conocen el hábitat escolar, puede servir de ilustración un método de enseñanza que se ha adaptado muy bien a esa dinámica del ambiente escolar. Permítaseme presentarles el método denominado Phillips 66: en grupos de 6 discutir un problema durante 6 minutos.
El método o técnica podría haber cambiado de nombre, pero estoy seguro que se mantiene vigente. En otra oportunidad comentaré con más detalle este método, pero la moraleja debería ser clara: el medio ambiente de los adolescentes que han crecido con la televisión y los juegos de video impone la restricción de "apúrate, apúrate"
I don´t want to spoil the party so I'll go
Pero, por otro lado, algunos temas no soportan la aspiración adolescente de "have fun y de volada" y huyen de ese hábitat, y se refugian en nichos ecológicos más favorables a sus necesidades de supervivencia. Pues esos temas exigen paciencia y concentración. Y al profesor --y a los textos escolares-- les es más productivo y les resulta más barato darle al cliente lo que pida (el alejarse de los problemas y de los conflictos --pero sobre todo el dinero-- no tienen lealtades permanentes). Ni bueno ni malo, es simplemente un hecho de la ecología escolar --y humana, demasiado humana.
Las fórmulas de Cardano-Vieta
Las fórmulas de Vieta (también llamadas ecuaciones de Vieta o de Cardano-Vieta) establecen una relación entre las raíces y los coeficientes de un polinomio. Franciscus Vieta fue un matemático francés de finales del siglo XVI.
Problema
La suma de dos números es 18 y su producto 32. Encontrarlos.
Solución
El problema se deja modelar mediante el sistema de ecuaciones $x+y=18$, $xy=32$. El cual, mediante el procedimiento de eliminación de una de las variables, puede reducirse a una ecuación cuadrática:
$$x((18-x)=32$$
Y se ve que el coeficiente de la $x$ es la suma cambiada de signo de los números, y el término independiente es el producto de ellos.
Pero los números buscados satisfacen la ecuación (por construcción --nótese la simetría de las ecuaciones simultáneas). Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar las raíces de la ecuación cuadrática $x^2-18x+32=0$.
Recíprocamente, si tenemos la ecuación cuadrática $x^2-18x+32=0$, y suponemos que $r,s$ son sus raíces, entonces la ecuación es factorizable como $(x-r)(x-s)=0.$ Pero $(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs $, eliminando paréntesis. Y como $x^2-(r+s)x+rs$ es idénticamente igual (i.e., la igualdad se cumple para todo $x$) a $x^2-18x+32$, entonces se debe cumplir necesariamente que los coeficientes son correspondientemente iguales. Es decir, $r+s=18$ y $rs=32.$
El lector no tendrá dificultad en probar esta correspondencia entre dos números con suma y producto dados y las raíces de la ecuación cuadrática con coeficiente 1 de la $x^2$ y coeficientes la suma de los números cambiada de signo para la $x$ y el producto de ellos como término independiente.
El uso de esta propiedad (las fórmulas de Vieta) en el problem solving se basa en la idea (derivada de la discusión anterior) de que resolver el sistema $r+s=p, rs=q$ es equivalente a encontrar las raíces de la ecuación cuadrática $x^2-px+q=0.$
Y recíprocamente, dada la ecuación cuadrática, uno puede decidir resolver el sistema de Vieta correspondiente en vez de aplicar la fórmula general para encontrar sus raíces.
El lector tampoco tendrá dificultad en generalizar las relaciones de Vieta para polinomios de grado mayor que dos. Por ejemplo, para ecuaciones cúbicas $x^3+bx^2+cx+d=0$, las raíces $r,s,t$ están relacionadas con los coeficientes $b,c,d$ de la ecuación cúbica mediante las fórmulas de Vieta siguientes: $r+s+t=-b,rs+st+tr=c,rst=-d$
Un detalle que puede ser difícil de retener en la memoria es la alternancia de signos. El lector puede optar por alternarlos en los coeficientes de la ecuación o bien en las fórmulas de Vieta, lo que se le haga más fácil de recordar.
Instancias de uso
1. Encontrar las raíces de la ecuación $x^2+x-6=0.$
Solución
Evocando a Vieta, las raíces $r,s$ de la ecuación cumplen el sistema $r+s=-1$ y $rs=-6.$ Y el lector puede ponderar qué es más fácil, si aplicar la fórmula general o bien resolver este sistema.
La ventaja de las fórmulas de Vieta es que muchos sistemas se pueden resolver por inspección. Por ejemplo, en este problema, el lector puede quizá ver que 3 y 2 podrían servir. Ajustando los signos quizá podría llegar a concluir que las raíces son -3 y 2 --ya que su producto es -6 y su suma -1.
2. Resolver el sistema
$$x+y+z=-2$$
Evocando a Vieta, resolver el sistema es equivalente a encontrar las raíces de $t^3+2t^2-5x-6=0.$ De nuevo, aquí debe tomarse la decisión de si es más fácil el sistema o la ecuación cúbica. De nuevo, por inspección se puede ver que $t=-1$ es raíz (-1+2+5-6=0). Y entonces se evoca el teorema del residuo para polinomios, se divide entre $t+1$ y se concluye que $t^3+2t^2-5t-6=(t+1)(t^2+t-6)$ --haciendo los cálculos requeridos.
Otra vez, por inspección, se ve que $t=2$ es raíz de $t^2+t-6=0$ y, por la fórmula general o dividiendo o de algún otro modo, se logra la tercera raíz que es -3. De aquí que la solución del sistema es $(x,y,z)=(-3,-1,2)$ y todas sus permutaciones.
¿Completar el cuadrado o Vieta?
Para derivar la fórmula general de la ecuación cuadrática es común completar el trinomio cuadrado perfecto en $ax^2+bx+c=0.$ De hecho es el método que he visto en casi todos los textos escolares. Pero posiblemente sea más productivo derivarla (en el sentido de deducirla) razonando por sus raíces --una vez que los alumnos se hayan dado cuenta que la cuadrática tiene dos soluciones.
Aquí habría que reforzarles sus descubrimiento sin invocar el teorema fundamental del álgebra pero eso cada profe lo decidirá, según su temperamento. Se les plantearía el argumento más o menos de la siguiente manera:
Ustedes han visto que todas las cuadráticas que hemos resuelto tienen dos soluciones. Eso siempre se cumple. Entonces, consideren este argumento:
- Supongamos que las soluciones de la cuadrática $ax^2+bx+c=0$ tiene las dos soluciones $r, s.$
- Entonces se cumplen las dos identidades siguientes: $ar^2+br+c=0$ y $as^2+bs+c=0.$
- Restando una de la otra (o igualando y pasando todo al lado izquierdo) se obtiene la ecuación $a(r^2-s^2)+b(r-s)=0.$
- Y factorizando $r-s$ se logra $(r-s)(r+s+b/a)=0.$
- Si $r$ es distinto de $s$ (de otra manera se habría identificado el cuadrado perfecto desde el principio), entonces $r+s=-b/a.$
- Pero entonces $b=-a(r+s).$
- Sustituyendo en una de las identidades iniciales, digamos en $ar^2+br+c=0$, se obtiene $ar^2-ar(r+s)+c=0.$
- Simplificando, se obtiene $rs=c/a.$
- Y hemos logrado las ecuaciones de Vieta que relaciona las raíces con los coeficientes de la cuadrática: $r+s=-b/a, rs=c/a.$
-
Ahora veamos el siguiente truco que no viene en los libros:
- Elevando al cuadrado $r+s=-b/a$ y multiplicando por 4 a $rs=c/a$ se obtienen las ecuaciones $(r+s)^2=b^2/a^2$ y $4rs=4c/a.$
- Restando se obtiene $(r+s)^2-4rs=(b^2-4c)/a^2.$
- Pero $(r+s)^2-4rs=(r-s)^2$ ¿no es cierto?
- Tenemos entonces que $(r-s)^2=(b^2-4c)/a^2.$
- Tomando raíz cuadrada en ambos lados se obtiene $r-s=\pm\sqrt{(b^2-4c)/a^2}.$
- Pero ahora tenemos que la suma de las raíces es $-b/a$ y su diferencia es la que acabamos de obtener.
- ¿Y qué es lo que se hace cuando tenemos dos números desconocidos pero sabemos su suma y su diferencia? Se calculan la semisuma y la semidiferencia de las cantidades conocidas ¿no es cierto?
- Se deja como ejercicio derivar de aquí la fórmula general de la ecuación cuadrática.
Epílogo
Bueno, creo que los alumnos deben haberse desconectado antes de la mitad del argumento --y ya están mensajeándose con su celular riéndose del profe "que se surtió en Milano"
Y la verdad es que ya empíezo a dudar de que exista algún método de presentar la fórmula general, que sea ya no digamos productivo sino mínimamente atractivo, es decir, que de perdido atraiga la atención de los alumnos por al menos las tres cuartas partes del argumento.
Aunque posiblemente, si uno tuviese tiempo --o le pagaran por hacerlo-- todo el argumento podría convertirse en una sucesión de preguntas y problemas hasta llegar a la fórmula general pasando por Vieta.
Los saluda
jmd
PD: Se me olvidó poner la solución del problema inicial... se queda como ejercicio para el lector... "¿tienen algún problema con eso? ¡les digo a ustedes los del rincón que desde hace rato se están riendo!"
Muy buen artículo. Soy