Básico

 Encontrar todos los números de cuatro cifras tales que:

• la suma de los cuadrados de las cifras extremas es 13;
• la suma de los cuadrados de las cifras medias es 85;
• al restarle 1089 sus cifras se invierten (las unidades pasan a ser millares, etc.)

 Para llenar la alberca se dispone de dos mangueras $A$ y $B$. Un día que la alberca estaba vacía, Claudia abrió la manguera $A$ y la dejó abierta la tercera parte del tiempo con que la $B$ llena la alberca. Cuando llegó Bernardo, ambos abrieron la manguera $B$ y la dejaron abierta la tercera parte del tiempo que tarda la manguera $A$ en llenarla. Con esta agua, equivalente a $13/18$ de la capacidad de la alberca, se metieron a ejercitar la natación. Calcular los tiempos con que se llena la alberca con cada una de las mangueras, si se sabe que entre ambas se llena en 3 horas y 36 minutos.

Demostrar que todos los números de la sucesión 49, 4489,444889,... son cuadrados perfectos.

 Demostrar que, en un triángulo rectángulo, la mediana a la hipotenusa mide la mitad que ésta.

 Dadas las coordenadas $A=(-\sqrt{3},2), B=(3\sqrt{3},2)$ de dos vértices de un triángulo equilátero $ABC$, y las de su ortocentro $H=(\sqrt{3},0)$, encontrar ls coordenadas del vértice $C$.

Demostrar que la tangente a la circunferencia $x^2+y^2=r$ en el punto $P=(x_1,y_1)$ está dada por la ecuación $xx_1+yy_1=r$

El promedio de dos números reales está exactamente a la mitad del camino entre ellos. Demostrarlo.

(Una Gaga (g) en rápido crecimiento, y rompiendo con todos los clichés, ha destronado en 2010 a Madonna (m) --una ex-reyna del pop ya en lento decaimiento.) Dentro de 4 años m tendrá el doble de la edad de g y la diferencia de sus edades es múltiplo de 7. Calcular éstas si se sabe además que g es mayor de edad y m todavía no es adulto en plenitud.

Camila, la princesa de la prepa, se reunió con tres de sus amigas y les regaló copias en CD del album más premiado del año (The Fame Monster, edición de lujo). A la primera le obsequió la mitad de las que traía en su mochila más dos, a la segunda la mitad de los que le quedaban más dos, y a la tercera la mitad de los que le quedaban más dos. Después del reparto le quedó una copia para ella. ¿Cuántas copias de The Fame Monster traía Camila en su mochila?

 En la figura se muestra un triángulo $ABC$ y su circuncírculo. El segmento que va desde el circuncentro $O$ (concurrencia de mediatrices) al gravicentro $G$ (concurrencia de medianas) se ha prolongado hasta cortar a la altura $AD$ en $H$.

Demostrar:

• (a) Los triángulos $OMG$ y $HAG$ son semejantes
• (b) El segmento $GH$ mide el doble que el $OG$
• (c) En $H$ concurren las tres alturas