Intermedio

Problemas de nivel estatal y similares.
Problema

P1 OMM 2004 - Problema 1

Enviado por jose el 13 de Febrero de 2009 - 00:39.

Encuentra todos los números primos $p,q, r$ con $p$<$ q$ <$r$ , que cumplan
con $25pq+ r= 2004$ y que $pqr+ 1 $ sea un cuadrado perfecto

Problema

Ternas Pitagóricas (parte 3)

Enviado por jmd el 12 de Febrero de 2009 - 20:39.

Demostrar que en cualquier terna pitagórica primitiva $a^2+b^2=c^2$, exactamente dos de los números $a, b, c$ son impares. (Primitiva significa sin divisores en común.)

Problema

Ternas Pitagóricas (parte 2)

Enviado por jmd el 12 de Febrero de 2009 - 20:17.

Demostrar que en cualquier terna pitagórica $a^2+b^2=c^2$,  al menos uno de los números a, b, c es divisible entre 5.

Problema

Geometría con origami

Enviado por jmd el 12 de Febrero de 2009 - 06:19.

Una hoja de papel en forma rectangular $ABCD$ se dobla a lo largo de la línea $PQ$ de manera que el vértice $A$ quede en el lugar del punto $A’$ y el vértice $B$ en el lugar del punto $B’$. Al medir los segmentos $AP, BQ, DP$, se tiene que miden $26 cm, 5 cm$ y $10 cm$, respectivamente.

¿Cuál es el área del la hoja de papel?

Problema

Problema 6 OMM 2003

Enviado por jose el 7 de Febrero de 2009 - 00:12.

Dado un entero $n$ un cambio sensato consiste en sustituir $n$ por $2n+1$ ó $3n+2$. Dos enteros positivos $a$ y $b$ se llaman compatibles si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o más cambios sensatos, tanto a partir de $a$,  como a partir de $b$. Encuentra todos los enteros positivos compatibles con $2003$ menores que $2003$.

 

Problema

Problema 4 OMM 2003

Enviado por jose el 6 de Febrero de 2009 - 23:52.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $DC$. Se toman puntos $P$ y $Q$ sobre $AB$ y $CD$ respectivamente, tales que $\frac{AP}{PB}= \frac{DQ}{QC}$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con $DP$ y sea $N$ la intersección de $PC$ con $QB$. Pruebe que la longitud de $MN$ depende sólo de las longitudes de $AB$ y $DC$ y calcula su valor.

 

Problema

Problema 2 OMM 2003

Enviado por jose el 1 de Febrero de 2009 - 23:10.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$. Sea $Y$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$, y sean $X$ y $Z$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$,
respectivamente. Sea $P$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $X$ y $Y$; sea $Q$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $Y$ y $Z$.
Supón que la recta $PQ$ corta a $X$ en un punto $R$ distinto de $P$, y que esa misma recta $PQ$ corta a $Z$ en un punto $S$ distinto de $Q$. Demuestra que concurren $AR$,$CS$, y la tangente
común a $X$ y $Z$ por $B$.

Problema

Problema 3 OMM 2003

Enviado por jose el 30 de Enero de 2009 - 22:07.

Problema 3. En una fiesta hay el mismo número n de muchachos que de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan a muchachos y que a cada muchacho le gustan b muchachas. ¿Para qué valores de $a$ y $b$ es correcto afirmar que forzosamente hay un muchacho y una muchacha que se gustan mutuamente?
 

Problema

Bisectriz, ángulo recto y conjugados armónicos

Enviado por jesus el 24 de Enero de 2009 - 17:21.

Consideremos P y Q un par de puntos conjugados armónicos con respecto a A y B, P dentro d

Problema

Diferencia de cuadrados constante

Enviado por jesus el 26 de Noviembre de 2008 - 12:07.

Dados dos puntos A y B, determinar el lugar geométrico de los puntos P en el plano tal que:

$PA^2 - PB^2 = constante$

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