Problema 2 OMM 2003

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Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$. Sea $Y$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$, y sean $X$ y $Z$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$,
respectivamente. Sea $P$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $X$ y $Y$; sea $Q$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $Y$ y $Z$.
Supón que la recta $PQ$ corta a $X$ en un punto $R$ distinto de $P$, y que esa misma recta $PQ$ corta a $Z$ en un punto $S$ distinto de $Q$. Demuestra que concurren $AR$,$CS$, y la tangente
común a $X$ y $Z$ por $B$.




Imagen de Luis Brandon

Otra solucion mas directa

Otra solucion mas directa seria resaltar que ARSC es ciclico ya que angACS=angBQP=angPBA=angARB por consiguiente angACS+angARS=180, de ahi si consideramos la circunferencia que pasa por A,R,S,C tenemos que AR,CS y la tangente por B son ejes radicales, y por consiguiente concurren como queriamos probar.