Teorema de Menelao
Enviado por jmd el 18 de Febrero de 2009 - 22:24.
Sea 
un triángulo y 
tres puntos sobre los lados 
, respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que los puntos sean colineales es que el producto de las razones 
sea la unidad.
Comentarios
#1 Segmentos dirigidos
Segmentos dirigidos (distancia signada).
(por ejemplo de 
a 
) como positiva. En esta convención se dice que 
es la magnitud positiva del segmento y 
es la magnitud negativa del segmento. Si 
son puntos colineales y aparecen en ese orden, se acostumbra decir, según esta convención, que 
. Esta convención de distancias signadas es obligatoria en el teorema de Menelao.
tres puntos que caen respectivamente en los lados 
del triángulo 
o sus prolongaciones. Suponga que solamente uno o todos los tres puntos caen en las prolongaciones de sus lados. Entonces los puntos son colinelaes si y sólo si 
.
Convención geométrica según la cual se elige una dirección del segmento
Sin embargo, si uno hace la aclaración de que al menos uno de los puntos de Menelao está en la prolongación de su lado correspondiente (dado que una recta no puede cruzar internamente los tres lados de un triángulo), la distancia signada se puede obviar. De hecho, es necesario suponer que exactamente uno de los puntos está en la prolongación de su lado o bien todos los tres están en las prolongaciones de sus lados. En cualquier otro caso (ninguno o dos puntos en las prolongaciones) lo que se tiene es el teorema de Ceva. (Las gracias le sean dadas a Jesús Rodríguez Viorato por su amable observación.)
La formulación propuesta por Alex Bogomolny --para evitar el signo en el teorema de Menelao-- es así:
Sean
Ver su multipremiado sitio web http://www.cut-the-knot.org/Generalization/Menelaus.shtml
En resumen, lo que quería aclarar con este comentario es que, en rigor, se debería usar la distancia signada para el teorema de Menelao (en la demostración del recíproco, sobre todo). Y que si se quiere evitar el signo, entonces hay que aclarar que no todos los tres puntos caen dentro de los lados como lo sugiere Bogomolny. (Y que no basta con decir que eso es obvio dado que ninguna recta puede cortar los tres lados de un triángulo --en cierto momento de la historia de las matemáticas lo que era obvio se volvió muy complicado de establecer...)
Digamos para finalizar que el aprendiz debería comprender que la distancia signada permite discriminar automáticamente los casos en que sucede Ceva.
Los saluda
jmd
PD: el enunciado del teorema de Menelao no lo modifiqué para que quede constancia de mi imprecisión y como una lección para los adolescentes interesados en las matemáticas sobre la utilidad de usar la distancia signada. (El enunciado es incorrecto, pero lleva consigo una lección para el aprendiz.)
José Muñoz Delgado
#2 A los estudiantes interesado
A los estudiantes interesado en profundizar sobre el concepto, los invito a leer el post segmentos dirigidos. Este post lo retomé de lo que ya antes había escrito en Dokuwiki, por eso no aparece en Drupal como contenido nuevo.
Jesús Rodríguez Viorato